而且
矩阵的转置(transpose)运算也是线性映射 。考虑 f(A)=A^T，满足
凯莱与泰特的谈话提供了重建矩阵乘法发明过程的一些线索 。1855年的某一天，凯莱望着案前的笔记沉思良久，笔记本上写着：
凯莱从小就着迷于解决复杂的数学难题，眼前这两个线性映射困扰他很长的一段时间 。经过几番考虑之后，他动笔计算 f 与 g 的复合，整理得到一个新的线性映射：
凯莱默想着这个方程式，或许是从行列式得来的灵感，他突然想到为何不用阵列来表示线性映射的系数呢？于是他将线性映射 f，g 和 h 分别表示为
像多数的数学家一样，凯莱深信数学的基本形式总是存在的，观察这三个线性映射的阵列表达让他更加坚定信念 。才气洋溢的凯莱大胆构思H即为 F 和 G 的复合(或乘积)，他要做的是「乘开」矩阵 F 和 G，然后令矩阵乘积 FG 等于 H，于是他兴奋地写下
顿时矩阵乘法的运算规则诞生了 。也许凯莱特别幸运，也或许是他的数学直觉格外敏锐，但不论如何，他给出了一个自然而且有用的矩阵乘法定义 。凯莱的基本思想是用矩阵乘积来表示线性复合映射，但他并不是第一个考虑线性复合映射问题的数学家 。早在1801年，高斯(Carl Friedrich Gauss) 就已经使用这种复合计算，但高斯并没有以阵列形式记录系数 。对许多数学家来说，矩阵乘法谈不上精巧的发明，凯莱将线性复合映射与矩阵乘积联系在一起的作为显得无足轻重，因为他既未解出困难的问题，也没有证明伟大的定理 。然而，矩阵以及乘法运算的发明显示良好设计符号的重要性，同时也点出部分数学家不愿意承认的一个事实：外表看似平凡无奇的表述符号可能是具有广泛应用的重要理论的萌芽条件之一 。最后历史证明凯莱异于常人的洞察力为矩阵理论与线性代数的发展开启了一扇大门 。
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