自然数包括什么，自然数的计数方法是什么( 二 ) _包括

4 ，自然数包括什么自然数（natural number），是非负整数（0, 1, 2, 3, 4……）。认为自然数不包含零的其中一个理由是因为人们在开始学习数字的时候是由“一、二、三...”开始，而不是由“零、一、二、三...”开始, 因为这样是非常不自然的。自然数通常有两个作用：可以被用来计数（如“有七个苹果”），参阅基数；也可用于排序（如“这是国内第三大城市”），参阅序数。自然数组成的集合是一个可数的，无上界的无穷集合。数学家一般以N来表示它。自然数集上有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的数系中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础， 19世纪的数学家建立了关于自然数的两种理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。除了0包括正整数和非负整数。自然数由0开始(包括0) ，一个接一个，组成一个无穷集体。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数自然数集是全体非负整数（在过去的教科书中，零一般被认为不是自然数，但21世纪的规定表明， 0确实为自然数，而更正原因是为了方便简洁）组成的集合，常用 N 来表示。自然数有无穷多个。0 ， 1,2,3. 。。。。。。5 ，整数的概念是什么整数整数（Integer）序列 … ， -2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2 ， … 中的数称为整数．整数的全体构成整数集，它是一个环，记作Z（现代通常写成空心字母Z）．环Z的势是阿列夫0．在整数系中,自然数为正整数,称0为零,称-1,-2,-3,…,-n,… 为负整数.正整数,零与负整数构成整数系. 正整数是从古代以来人类计数(counting)的工具.可以说,从「一头牛,两头牛」或是「五个人,六个人」抽象化成正整数的过程是相当自然的.事实上,我们有时候把正整数叫做自然数(the natural numbers). 零不仅表示「无」,更是表示空位的符号.中国古代用算筹计算数并进行运算时,空位不放算筹,虽无空位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件.印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的(sunya)字,其原意也是「空」或「空白」. 中国最早引进了负数.《九章算术.方程》中论述的「正负数」,就是整数的加减法.减法的需要也促进了负整数的引入.减法运算可看作求解方程a+x=b,如果a,b是自然数,则所给方程未必有自然数解.为了使它恒有解,就有必要把自然数系扩大为整数系. 正整数,零,和负整数合称整数(the integers).整数是人类能够掌握的最基本的数学工具.十九世纪德国伟大数学家 Kronecker因此说:「只有整数是上帝创造的,其他的都是人类自己制造的.」一个给定的整数n可以是负数（n∈Z-），非负数（n∈Z*），零（n=0）或正数（n∈Z+）．自然数就是没有负数的整数，即0和正整数。（如0 ， 1 ， 2……）整数就是没有小数位都是零的数，即能被1整除的数（如-1,-2,0,1,……）。有理数是只有限位小数(可为零位)或是无限循环小数（如1 ， 1.42,3.5,1/3,0.77777…… ， ……）。实数是相对于虚数而言的，是无理数和有理数的总称。自然数是正整数整数是能被1整除的数有理数是整数和分数（有限小数和无限循环小数）实数包括有理数和无理数（无限不循环小数）6 ，自然数整数因数倍数奇数偶数质数合数的定义自然数：大于等于0的整数。整数：像-2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2这样的数称为整数。（整数是表示物体个数的数， 0表示有0个物体）因数：整数A能被整数B整除， A叫做B的倍数， B就叫做A的因数或素数。倍数：一个整数能够把另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。奇数：不能被2整除的数。（奇数包括正奇数、负奇数）偶数：整数中，能被2整除的数是偶数（偶数包括正偶数、负偶数和0）质数：质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。合数：自然数中除能被1和本数整除外，还能被其他的数整除的数。(我找了很久！！！)质数就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数，质数又叫做素数。因数一整数被另一整数整除,后者即是前者的因数,如1,2,4都为8的因数倍数①一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。②一个数除以另一数所得的商。如a÷b＝c ，就是说a是b的c倍， c是倍数。整数序列… ， -2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2 ， …中的数称为整数．整数的全体构成整数集自然数简单说就是大于等于零的整数。自然数：大于等于0的整数。整数：像-2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2这样的数称为整数。（整数是表示物体个数的数， 0表示有0个物体）因数：整数A能被整数B整除， A叫做B的倍数， B就叫做A的因数或素数。倍数：一个整数能够把另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。奇数：不能被2整除的数。（奇数包括正奇数、负奇数）偶数：整数中，能被2整除的数是偶数（偶数包括正偶数、负偶数和0）质数：质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。合数：自然数中除能被1和本数整除外，还能被其他的数整除的数。讲定义也没啥意思，我就举例吧整数：就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,4这样的数自然数：非负整数，即0,1,2,3这样的数奇数：-3,-1,1,3,5……偶数：-4,-2,0,2,4……质数：除了1和自身没有其它因数的数，从小到大为2,3,5,7,11,13……质数有无穷多个合数：指自然数中能被1和其本身整除之外，还能被其他的数整除的数。就是自然数里除去0,1和质数剩下的那些数，比如4,6,8,9,10……因数：比如3整除6 ， 3就是6的因数倍数：6能被3整除， 6就是3的倍数自然数：大于等于0的整数。整数：像-2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2这样的数称为整数。（整数是表示物体个数的数， 0表示有0个物体）因数：整数A能被整数B整除， A叫做B的倍数， B就叫做A的因数或素数。倍数：一个整数能够把另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。奇数：不能被2整除的数。（奇数包括正奇数、负奇数）偶数：整数中，能被2整除的数是偶数（偶数包括正偶数、负偶数和0）质数：质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。合数：自然数中除能被1和本数整除外，还能被其他的数整除的数。7 ，整数的定义是什么正整数、负整数和0统称为整数。整数的个数是无限的，没有最小的整数和最大的整数。一、整数的分类和意义１.自然数的含义：自然数源于数数，在数物体的时候，用来表示物体个数的１，２，３， …99 ， 100…都叫做自然数。一个物体也没有，用０表示（0也是自然数）。最小的自然数是０，最小的一位数是１，自然数的单位是１。２.自然数（０除外）的两方面意义（１）用来表示事物多少的叫基数。例："７本书"中的"７"是基数；（２）用来表示事物次序（顺序）的叫序数。例："第９天"中的"９"是序数。３.０的意义（０的作用）（１）在计数时０起占位作用，表示该位上没有单位；（２）表示起点，如零刻度；（３）计数，如果一个物体也没有，用０表示；（４）表示界线，如温度计，数轴上的０，表示正、负数的分界线；（５）０是一个完全有确定意义的数；（６）０不能作除法的除数、分数的分母、比的后项；（７）０是最小的自然数，是一个偶数；是任何自然数（０除外）的倍数。４.整数的含义像-５， -２，０，２，５， 10 ， ……这样的数统称整数。整数的个数是无限的，没有最小的整数，也没有最大的整数。（１）正整数：大于０的自然数或整数。（２）负整数：像-１， -２， -３， ……这样的数叫做负整数。它是与正整数表示相反意义的量。（小于０的整数。）（３）０既不是正数也不是负数，它是最小的自然数。１是最小的一位数。5.整数的分类６.正数和负数（１）正数的含义像以前学过的+１、+200、+、+4.8、+24％， ……这样的数叫做正数。正数前面的"+"号，称为正号，也可以省去不写。（２）负数的含义小于０的数叫做负数。像-5、-7.8、-、-500、-35％， ……这样的数都是负数。７.负数在日常生活中的应用正、负数是表示两种具有相反意义的量。如：收入与支出、海平面以上与海平面以下、零下与零上、盈利与盈亏、左与右、东与西、余钱与亏钱、进与出、增产与减产、得分与扣分、上升与下降等。二、整数的读写1.数位顺序表（１）数级：从个位起每四位是一级，依次是个级、万级、亿级…… 。个级表示多少个一，计数单位"一"；万级表示多少个万，计数单位"万"；亿级表示多少个亿，计数单位"亿" 。（２）位数：一个数含有数位的个数叫做位数。因此，在一个数中所含数字的个数是几，这个数就叫做几位数。（３）数位：各个计数单位所占的位置，叫做数位。数位是按固定顺序排列的。（４）计数单位：整数和小数都是按照十进制计数法写出的数，其中个、十、百……以及十分之一、百分之一……都是计数单位。它表示各个数位上的一个１表示的是多少。２．整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，按照个级的读法去读，只要在后面加一个"亿"或"万"字就可以了。每一级末尾的０都不读出来，级首或级中有一个或连续几个０，都只读一个零。读数和写数时，如果数的后面有单位名称，则单位名称不能丢掉。３．整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写０。４．整数的大小比较（１）比较两个数的大小，如果位数不同，那么位数多的那个数就大。（２）如果位数相同，先看最高位，最高位上的数大那个数就大；最高位上的数相同，次高位上的数大那个数就大，如果还相同，则继续依次比较，直到比较出大小为止。５．整数的改写和近似数一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用"万"或"亿"作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。（１）整数的改写准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数，根据需要还可以还原。例如把1254300000改写成以万作单位的数是125430万；改写成以亿作单位的数是12.543亿。（２）近似数用一个与它比较接近的数来表示事物的数量，这样的数就是近似数。（根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。）例如：1302490015省略亿后面的尾数是13亿。近似数常用词：精确到哪位小数、保留几位小数等。ａ．四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是４或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是５或者比５大，就把尾数舍去，并向它的前一位进１。例如：省略345900万后面的尾数约是35万。省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。ｂ．进一法：在取近似数时，不管多余部分上的数量是多少，都向前进1 。这种求近似数的方法，叫做进一法。ｃ．去尾法：在取近似数时，不管多余部分上的数量是多少，一概去掉。这种求近似数的方法，叫做去尾法。8 ，自然数有哪些自然数即用数码0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4……全体非负整数所表示的数。自然数的特点：用以计量事物的件数或表示事物次序的数叫做自然数；自然数由0开始(包括0) ，一个接一个，组成一个无穷的集体；自然数包括全体非负整数(小数不算)；自然数有无数个。扩展资料：基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数。这样，所有单元素集自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数，自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。参考资料：自然数_百度百科自然数有零和正整数。自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。扩展资料数列0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,……n ，称为自然数列。自然数列的通项公式an=n 。自然数列的前n项和Sn=n（n+1）/2 。Sn=na1+n（n-1）/2自然数列本质上是一个等差数列，首项a1=1 ，公差d=1 。参考资料自然数_搜狗百科自然数有：能用数码0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ……所表示的数，都是自然数。是全体非负整数组成的集合，常用 N 来表示。自然数有无穷无尽的个数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。扩展资料：整数包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是非负整数。但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不总是成立的。用以计量事物的件数或表示事物次序的数。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。参考资料来源：百度百科-自然数自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。自然数集是全体非负整数组成的集合，常用 N 来表示。自然数有无穷无尽的个数。扩展资料：一、分类1、按是否是偶数分可分为奇数和偶数。1）奇数：不能被2整除的数叫奇数。2）偶数：能被2整除的数叫偶数。也就是说，除了奇数，就是偶数注：0是偶数。（2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。偶数可以被2整除， 0照样可以，只不过得数依然是0而已）。2、按因数个数分可分为质数、合数、1和0 。1）质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。也称作素数。2）合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。3）1：只有1个因数。它既不是质数也不是合数。4）当然0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。备注：这里是因数不是约数。二、数列数列0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,……n ，称为自然数列。自然数列的通项公式an=n 。自然数列的前n项和Sn=n（n+1）/2 。Sn=na1+n（n-1）/2自然数列本质上是一个等差数列，首项a1=1 ，公差d=1 。参考资料来源：百度百科－自然数0、1、2、3、4....概念：自然数是指表示物体个数的数，即由0开始， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ……一个接一个，组成一个无穷的集体，即指非负整数。数学术语自然数集是全体非负整数组成的集合，常用 N 来表示。自然数有无穷无尽的个数。【拼音】zì rán shù【英译】natural number扩展资料一般概念自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。注：整数包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是非负整数。但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不总是成立的。用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， ……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数一个接一个，组成一个无穷集体。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础， 19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。（序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义）自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1 。②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③1是0的后继者。④0不是任何元素的后继者。⑤不同元素有不同的后继者。⑥（归纳公理）N的任一子集M ，如果1∈M ，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N 。基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数。这样，所有单元素集类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2 ，等等。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。应用1、自然数列在“数列” ，有着最广泛的运用，因为所有的数列中，各项的序号都组成自然数列。任何数列的通项公式都可以看作：数列各项的数与它的序号之间固定的数量关系。2、求n条射线可以组成多少个角时，应用了自然数列的前n项和公式第1条射线和其它射线组成（n-1）个角，第2条射线跟余下的其它射线组成（n-2）个角，依此类推得到式子1+2+3+4+……+n-1=n（n-1）/23、求直线上有n个点，组成多少条线段时，也应用了自然数列的前n项和公式第1个点和其它点组成（n-1）条线段，第2个点跟余下的其它点组成（n-2）条线段，依此类推同样可以得到式子1+2+3+4+……+n-1=n（n-1）/2任何一自然数，可代入下公式，等式始终成立：【性质】1、对自然数可以定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：a + 0 = a；a + S（x） = S（a +x），其中， S（x）表示x的后继者。如果我们将S（0）定义为符号“1” ，那么b + 1 = b + S（0） = S（ b + 0 ） = S（b），即， “+1”运算可求得任意自然数的后继者。同理，乘法运算“×”定义为：a × 0 = 0;a × S（b） = a × b + a自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。2、有序性。自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0 ， 1 ， 2 ， 3 ， …这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。3、无限性。自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。对于无限集合来说“ ，元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的， 21世纪把它推广到无限集合，即如果两个无限集合的元素之间能建立一个一一对应，我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说它们的元素个数相同，而说这两个集合的基数相同，或者说，这两个集合等势。与有限集对比，无限集有一些特殊的性质，其一是它可以与自己的真子集建立一一对应，例如：0 1 2 3 4 …1 3 5 7 9 …这就是说，这两个集合有同样多的元素，或者说，它们是等势的。大数学家希尔伯特曾用一个有趣的例子来说明自然数的无限性：如果一个旅馆只有有限个房间，当它的房间都住满了时，再来一个旅客，经理就无法让他入住了。但如果这个旅馆有无数个房间，也都住满了，经理却仍可以安排这位旅客：他把1号房间的旅客换到2号房间，把2号房间的旅客换到3号房间， ……如此继续下去，就把1号房间腾出来了。4、传递性：设 n1 ， n2 ， n3 都是自然数，若 n1>n2 ， n2>n3 ，那么 n1>n3 。5、三岐性：对于任意两个自然数n1 ， n2 ，有且只有下列三种关系之一：n1>n2 ， n1=n2或n1<n2 。6、最小数原理：自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。具备性质3、4的数集称为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。但是这两个数集都不具备性质5 ，例如所有形如nm（m>n ， m ， n 都是自然数）的数组成的集合是有理数集的非空子集，这个集合就没有最小数；开区间（0 ， 1）是实数集合的非空子集，它也没有最小数。具备性质5的集合称为良序集，自然数集合就是一种良序集。容易看出，加入0之后的自然数集仍然具备上述性质3、4、5 ，就是说，仍然是线性序集和良序集。参考资料：自然数--百度百科

自然数包括什么，自然数的计数方法是什么( 二 )

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