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魔方小课堂
很多小朋友都很喜欢玩魔方 也通过各种方式都学会了魔方,都是根据现有的公式和方法来学习,王老师一直建议小朋友不仅仅学会魔方,还要知道背后的原理和思路,正所谓 知其然,也要知其所以然,今天我们来看看魔方六面还原中蕴含的那些数学原理
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一 魔方结构
魔方的构成 三阶魔方是由 3×3×3-1=26 个小方块组成的立方体,有 6 个面(还原之后每个面颜色相同,共 6 种颜色),每个面有 9 个 小面,共 54 个小面 。26 个小方块包括 6 个中心块(仅一个可见 面)、12 个棱块(两个可见面)、 8 个角块(三个可见面)
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.魔方的还原 魔方每个面都可以绕轴任意转动,随便转动几个面,魔方 就会成为颜色斑驳的状态 。将这样的状态改变成为每个面上的 所有小面颜色都相同称为魔方的还原 。还原过程实际就是根据 每一面中心块的颜色,对棱块和角块进行“对色”与“对位” 。
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二 魔方中的数学
一 魔方中的排列组合
由排列组合中的乘法和加法原理可知,三阶魔方共有 8!×38×12!×212 3×2×2 种状态 。除去被轴固定的 6 个中心块外,剩 余 20 个小块,8 个角块放在 8 个角位置,全排列为 8!,每个 角块的三种颜色因为方向的不同又有 3 种方法,因此共有 8!× 38 种排列;同理,12 个棱块共有 12!×212 种排列 。
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但是魔方还原 过程中,保持其他小块不动时,不可以单独改变一个角块的朝 向,不可以单独改变一个棱块的朝向,也不可以单独交换一对 棱块或一对角块的位置,因此需要除去 3×2×2 。由此可见,要凭 运气把一个颜色斑驳的魔方还原成同面同色几乎是不可能的 。
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二 魔方的对称性
对称是一个几何图形 Φ 的如下性质:在某个变换群 G 的 作用下,Φ 被映射到自身上,这个群称为对称群 。如果变换群 G 是一条直线,那么几何图形 Φ 就是关于直线 G 的对称图形;如 果变换群 G 是一个点,那么几何图形 Φ 就是以点 G 为中心的 对称图形 。
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若以点 G 为中心的对称图形 Φ 在平面内绕着 G 旋 转 360°/n(n 是一个整数)后与自身重合,那么 Φ 有一个 n 阶对 称,且 G 称为其对称中心 。如图 a,b,c 分别是以 O 为中心的 2 阶、 4 阶、 3 阶对称 。这样的对称性在正方体中完全展现,只是此 时绕平面内某点的旋转换成了空间中绕某直线的旋转 。
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三阶正方体魔方具有 2 阶、 3 阶、 4 阶对称轴,这样的对称 性是除了球体以外的其他物体所不能比拟的[1] 。魔方的还原过 程就在于旋转中魔方色块位置的交换,对于魔方每层每次的旋 转都是绕着该层中心块的变换,这样的保持点间距离不变的空
三 魔方群
魔方的转动是指将魔方某个面上的所有块顺时针(面对该面)旋转 90° 。相应的,若是逆时针旋转则称为逆转动 。为了记录下转乱、复原的过程,习惯上采用由 David Singmaster 发明的符号来书写 。以英文 Up(上)、Down(下)、Front (前)、Back(后)、Left(左)、Right(右)的第一个字母分别表示魔 方的上、下、前、后、左、右六个面的转动;用小写字母 u、 d、 f、 b、 l、 r 表示各面及相应的中心块;用 xy 来表示位于 x 面 y 位置的 棱块小面,如 uf 表示 u(上)面 f(前)位置的小面;用 xyz 表示位 于 x 面 yz 位置的角块小面,如 ufr 表示位于示 u(上)面 fr(前 右)位置的小面 。
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