然而 ， 这些问题都是计算数学领域的经典问题?。”暇? ，函数逼近、概率分布的逼近与采样，以及微分方程和差分方程的数值求解，都是计算数学领域极其经典的问题 。那么，这些问题在机器学习的语境下 ， 到底和在经典的计算数学里有什么区别呢？答案便是：
维度（dimensionality）
例如，在图像识别问题中，输入的维度为
。而对于经典的数值逼近方法，对于
维问题，含
个参数的模型的逼近误差
. 换言之 ， 如果想将误差缩小10倍，参数个数需要增加
. 当维数
增加时，计算代价呈指数级增长 。这种现象通常被称为：
维度灾难（curse of dimensionality）
所有的经典算法，例如多项式逼近、小波逼近，都饱受维度灾难之害 。很明显，机器学习的成功告诉我们，在高维问题中，深度神经网络的表现比经典算法好很多 。然而，这种“成功”是怎么做到的呢？为什么在高维问题中，其他方法都不行，但深度神经网络取得了前所未有的成功呢？
从数学出发，理解机器学习的“黑魔法”：监督学习的数学理论
2.1 记号与设定
神经网络是一类特殊的函数 。比如，两层神经网络是：
其中有两组参数，
和
。
是激活函数，可以是：
·
，ReLU函数；
·
，Sigmoid函数 。
而神经网络的基本组成部分即为：线性变换与一维非线性变换 。深度神经网络，一般就是如下结构的复合：
为了简便，我们在此省略掉所有的bias项
。
是权重矩阵，激活函数
作用在每一个分量上 。
我们将要在训练集S上逼近目标函数
不妨假设
的定义域为
。令
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