一个函数 描写了一个量子粒子在空间上的分布 ， 可这也是对一个波的描写 。 我们发现 ， 由于量子理论中的叠加性 ， 对一个量子粒子状态的描写 ， 相当于对一个波的描写 。 这就是有名的波粒二象性 ， 而复函数也被叫作波函数 。 我们看到 ， 量子力学的真正革命之处 ， 就在于其修改了“存在”这一基本概念 。 这也是量子力学很难理解的根本原因 。 量子力学的内涵不在于量子化、离散化 ， 而在于对“存在”的重新识知 。 这样看来 ， 量子力学这个名字 ， 有点名不正言不顺 ， 没有抓往最关键的内涵 。 “波动力学”或者“矩阵力学”这两个名称可能更准确 。
海森堡测不准原理
海森堡
根据上面的描写 ， 我们知道 ， 如果波函数只在一点不为零 ， 而在其它位置都为零 ， 那这样一个波函数就描写了一个处于这个位置的粒子（图2a） 。 那什么是波函数描写速度为的粒子呢？速度为的粒子其动量为 ， 其中 m 是粒子的质量 。 它对应于波长为 λ=h/p 的波： （图2b） 。 我们注意到这个波函数处处不为零 ， 粒子出现在所有地方 ， 位置非常不确定 。 这就是有名的海森堡测不准关系：一个粒子速度确定了 ， 其位置就不确定；一个粒子位置确定了 ， 其速度就不确定 。 我们找不到一个波函数 ， 它又有一个确定的位置 ， 又有一个确定的速度 。 也就是说位置速度都确定的粒子根本就不存在 。
测不准关系是神奇的量子叠加原理的一个推论 。 一个有完全确定速度的粒子状态 ， 是所有不同位置的粒子状态的一个叠加 。 一个有完全确定位置的粒子状态 ， 是所有不同速度的粒子状态的一个叠加 。 所以速度的完全确定就导致了位置的完全不确定 。 而位置的完全确定又导致了速度的完全不确定 。 不管多么别扭 ， 这就是我们的真实世界 。
图2：（a）一个位置完全确定的波函数 。 （b）一个速度完全确定的波函数 。 （c）一个位置有点儿不确定速度也有点儿不确定的波函数 。 这个波函数 ， 描写了我们日常说的 ， 同时有位置有速度的粒子 。 其实粒子的速度位置都有点不确定 。 速度位置都完全确定的状态根本不存在 。 因为波函数是一个复数函数 ， 这里蓝线是波函数的实部 ， 红线是波函数的虚部 。
上面对一个粒子的量子描写 ， 好像完全是胡说——一个粒子明明可以同时有位置和速度 ， 这不仅仅是我们日常的经验 ， 也是实验的观察 。 说粒子不可以同时有位置和速度 ， 有悖于已有的实验观察 。 其实这里并没有矛盾 。 量子力学说的是 ， 位置速度都确定的东西不存在 。 但位置有点不确定 ， 速度也有点不确定的东西 ， 还是可以存在的 。 这样一个状态是由图2c中的波函数所描写的 。 我们日常经验中所谓同时有位置和速度的粒子 ， 其实是位置和速度都有些不确定的粒子 。 只不过这个不确定很小 ， 以前没有注意到 。 但这个小小的不确定性彻底颠覆了经典力学的看法 。 我们不能用六个数 ， 来刻画一个粒子的状态 ， 我们必须用一个波函数 来刻画一个粒子的状态 。 这个变化太大了 ， 彻底改变了我们对世界的认知 。
粒子的波性和薛定谔方程
图3 单缝和双缝实验展示了我们世界中真实粒子的波动性
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