如果s等于1 ， 即前面的调和级数 ， 级数和就是发散的 ， 结果是无穷大 。如果是无穷大 ， 那些方法算出来的结果没有意义 ， 这就如同要规定被减数必须大于减数一样 。对于下面这个级数 ， 即调和级数：Z＝1/1＋1/2＋1/3＋1/4＋……无限地加下去 ， 结果等于多少呢？看似它后面的各项越来越小 ， 总和并不会收敛到一个有限的数 ， 而是无穷大 。
如何描述无穷大和无穷小？
这看似荒唐的结论 ， 道出了数学和实验科学的区别 。当时大家缺乏对数学一些背景知识的了解 ， 因此无法讲得很透 。这回我们学了很多数学的道理 ， 能够讲得比较清楚了 。在上面的问题中 ， 首先涉及到数学上一个被称为“延拓”的概念 。什么是延拓呢？比如我们过去做减法 ， 2-3的结果就不是自然数了 ， 因此最早人们只能规定 ， 减法必须是大数减去小数 ， 不能反过来 。
但是 ， 后来人们就在想 ， 如果我维持减法的逻辑 ， 能否扩展一下数的范围 ， 看看在这样的逻辑下 ， 得到什么结果呢？于是人们就拓展出负数 ， 而且根据和大数减小数完全一样的逻辑 ， 得到了-1这个结果 。这就是将减法这种运算延拓到更大的定义空间 。类似的 ， 我们前面讲了 ， 将-1的平方根定义为虚数i ， 也是对开方运算的“延拓” 。注意 ， 延拓的要求是计算的逻辑和原来完全相同 。
你可以简单地把延拓理解为在想象的世界里 ， 一次合乎逻辑的认知升级 。上面那个问题 ， 其实也涉及到级数（也就是数列相加）这个运算的延拓 。我们在前面讲过 ， 一个等比级数 ， 如果比值小于1 ， 它最终的和就是一个有限的数 。但是对于下面这个级数 ， 即调和级数：Z＝1/1＋1/2＋1/3＋1/4＋……无限地加下去 ， 结果等于多少呢？看似它后面的各项越来越小 ， 但是总和并不会收敛到一个有限的数 ， 而是无穷大 。
【科学家找到验证办法,无穷大】以后 ， 人们发现 ， 各种计算级数的方法 ， 能够使用的前提就是 ， 最终加起来需要是一个有限的数 。如果是无穷大 ， 那些方法算出来的结果没有意义 ， 这就如同要规定被减数必须大于减数一样 。对于上面这一类调和级数 ， 欧拉发现稍微作一点调整 ， 它就会收敛 ， 比如我们计算：欧拉发现 ， 它是一个有限的数 ， 恰巧等于圆周率π^2/6 。再接下来 ， 欧拉把这一类的级数再次推广 ， 让级数中的每一项可以是任意的s次方 。
即整数倒数的s次方之和 ， 这里面s可以是任何数 。这个函数后来被称为了黎曼Zeta函数（并没有用欧拉的名字命名） ， 但是它通常的解法却被称为了欧拉乘积公式 。欧拉发现只要s大于1 ， 上面这个级数就是收敛的 ， 存在有限的答案 。如果s等于1 ， 即前面的调和级数 ， 级数和就是发散的 ， 结果是无穷大 。当然 ， 如果s小于1 ， 肯定更是发散的了 ， 因为这时的数值比调和级数要大 。
于是 ， 按照我们一般的做法 ， 就是为这种Zeta函数画一个有意义的定义域 ， 即s必须大于1 。但是欧拉作为历史上有名的大数学家是很有想象力的 。欧拉就想了 ， 如果让s变成了负数 ， 然后还是用s
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