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为什么ZF公理系统要包含空集定理？

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所谓 ， 空集定理 ， 就是：空集公理：存在一个不含任何元素的集合 ， 即 ， ?X?u(u ? X)根据 ZFC 公理体系中的 ， (1) 外延公理（Axiom of Extensionality)：如果 X 和 Y 拥有相同的 元素 ， 则 X 与 Y 相等 ， 即 ， ?u(u ∈ X ? u ∈ X) → X = Y我们可确定 所有 空集合 都相等 ， 也就是说 空集 唯一 ， 我们将这个唯一的空集 记为 ? 。
为什么说 ， 空集公理 是 空集定理 呢？因为 它可以 从存在公理：存在一个集合 ， 即 ， ?X(X = X)推导出来 。利用 ZFC 公理体系中的 ， (3) 分离公理模式（Axiom Schema of Separation）： 如果 P 是一个 属性 ， 则 对于任意 X 都存在 集合 Y 包含 所有 具有 属性 P 的 X 的元素 ， 即 ， ?X?Y?u(u ∈ Y ? u ∈ X ∧ P(u))令 ， Y = {u ∈ X : P(u)} 。
【AXIOM,Interface】只需要令 ， P(x) := x ≠ x ， 其中 x ≠ x ? ?(x = x) ， “=” 来自 外延公理 ， 则：? = {u ∈ X : u ≠ u}首先 ， 存在公理 确保了 X 的存在 ， 其次 在 外延公理 下 所有 u 一定等于 自己 ， 和自己不相等的 u 不存在 ， 于是 u ≠ u 是永假的 ， 故 ， ? 不可能 含有任意元素 ， 即 ， ? 满足 空集公理 。
反过来 ， 空集公理 确定了 空集 ? 的存在 ， 根据 外延公理 有 ，  ??(? = ?)  ， 这就推导出来了 ， 存在公理 。所以说： 空集公理 与 存在公理 在 ZFC 公理体系中 等价 ， 二者定义其一即可！佛曰：空既是色 ， 色即是空；道曰：有无相生 ， 此两者同出而异名 ， 同谓之玄！ZFC公理系统并没有直接包含 ， 空集公理（或 存在公理） ， 而是作为(6) 无限公理（Axiom of Infinity）：无限集合存在 。
的一部分 ， 而引入 ZFC 的 。具体来说：要定义无限集合 S ， 就先要有一个有限集合 ， 无疑 空集 ? 是最好的选择 ， 规定：? ∈ S然后 ， 利用 ZFC公理系统 中的 ， (2) 结对公理（Axiom of Pairing）：对于任意 a 和 b 都存在 集合 {a ，  b} 恰好包括 a 和 b ， 即 ， ?a?b?c?x(x ∈ c ? x = a ∨ x = b)根据 外延公理 ，  c 是唯一的 ， 称为 无序对 ， 记为 ， c = {a ，  b} ， 特别地 ，  x 和 自己 的无序对 是 单元素集 {x} 。
(3) 并公理（Axiom of Union)：任何集合 X 中所有的元素的并集 Y = ∪X 都存在 ， 即 ， ?X?Y?u(u ∈ Y ? ?z(z ∈ X ∧ u ∈ z))令 ， Y = {u : ?z(z ∈ X ∧ u ∈ z) } = ∪{z : z ∈ X } = ∪X 。可以定义 集合 a, b 的 并运算：a ∪ b = ∪{a, b}再根据 并运算 ， 定义 集合 x 的后继运算：x? = x ∪ {x}接着 ， 规定：?x(x ∈ S → x? ∈ S)称 同时满足 以上 两个 规定 的 集合 S 为 归纳集 。
显然 ， 归纳集 是 无限集合 ， 于是 ， 无穷公理 就改写为：存在一个归纳集 ， 即 ， ?S(? ∈ S ∧ ?x(x ∈ S → x? ∈ S))这样 ， ? 是 归纳集 的第一个元素 ， 无穷公理 已经就蕴含了 空集公理（或 存在公理） 。[这里也就回答了题主的问题]无限公理 仅仅是 保证了 归纳集 的 存在性 ， 我们并不能确定 归纳集 唯一 ， 事实上 ， 存在无限多个归纳集 。

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