偏微分方程，总结偏微分方程的解法 _微分方程

1，总结偏微分方程的解法可分为两大分支：解析解法和数值解法只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。数值解法最常见的有三种：差分法（最普遍最通用）、有限体积法、有限元法其他数值解法还有：正交配置法、微扰法（可解薛定谔方程）、变分法等等【偏微分方程，总结偏微分方程的解法】

2，什么叫偏微分方程科普中国·科学百科：偏微分方程00:00 / 00:4970% 快捷键说明空格: 播放 / 暂停Esc: 退出全屏 ↑: 音量提高10% ↓: 音量降低10% →: 单次快进5秒 ←: 单次快退5秒按住此处可拖拽不再出现可在播放器设置中重新打开小窗播放快捷键说明

3，常微分方程偏微分方程全微分方程各是什么有什么区别常微分方程：解得的未知函数是一元函数的微分方程。偏微分方程：解得的未知函数是多元函数的微分方程。全微分方程：一个一阶微分方程写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的形式后，它的左端恰好是某个函数u=u(x,y)的全微分,则该微分方程叫全微分方程。

4，偏微分方程包含未知函数的偏导数（或偏微分）的方程。方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。不过这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。数学应用在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。5，什么是偏微分方程导数如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。导数是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。这些大学都学，很重要6，常微分方程和偏微分方程有什么区别凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程。常微分方程是微分方程的一部分,如果把二者看成集合的话,常微分方程是微分方程的真子集1、常微分方程是含有自变量（一个）、未知函数和它的导数的等式，偏微分方程是含有自变量（两个或两个以上）、多元函数及其导数（偏导数）的等式；2、常微分方程的解是一元函数；偏微分方程的解是多元函数。常微分方程：解得的未知函数是一元函数的微分方程。偏微分方程：解得的未知函数是多元函数的微分方程。全微分方程：一个一阶微分方程写成p(x,y)dx+q(x,y)dy=0的形式后，它的左端恰好是某个函数u=u(x,y)的全微分,则该微分方程叫全微分方程。7，这个偏微分方程怎么解啊我的高等数学没学到偏微分方程，所以下面只会个很朴素的解法,你看看行不?先看这个简单的微分方程：y=A*(dy/dx)+B，A,B是系数；(i)它的解是y=C*exp(x/A)+B；C是任意常数同样对于偏微分方程：y=K1(dy/dx)+K2(dy/dt)+K3，K1,K2,K3是系数；(ii)它也有解y=C1*exp(x/K1)+C2*exp(t/K2)+K3；C1,C2是任意常数你的方程可以化简成上面(ii)那样的只要分母不为0，即K不等于-0.25*a2,那么(ii)中的K1=2/(4*K+a2)；K2=-4/(4*K+a2)；K3=4*K*a1/(4*K+a2)；所以当K不等于-0.25*a2时方程有解：y=C1*exp[x*(4*K+a2)/2]+C2*exp[-t*(4*K+a2)/4]+4*K*a1/(4*K+a2)C1，C2是任意常数当K等于-0.25*a2时，方程可化为：0.5*(dy/dx)-(dy/dt)+K*a1=0此时方程有解：y=(2*C-2*K*a1)*x-C*tC是任意常数我的高等数学没学到偏微分方程，所以下面只会个很朴素的解法, 你看看行不? 先看这个简单的微分方程：y=a*(dy/dx)+b，a,b是系数；(i) 它的解是y=c*exp(x/a)+b；c是任意常数同样对于偏微分方程：y=k1(dy/dx)+k2(dy/dt)+k3，k1,k2,k3是系数；(ii)。用傅立叶变换啊，关于x做傅立叶变换，偏微分方程变成常微分方程来解，然后再把解用傅立叶逆变换变成原问题的解你这题没给定解条件。。。。。。。。。不知道解出来会是什么东西。。。8，偏微分方程的方程解释客观世界的物理量一般是随时间和空间位置而变化的，因而可以表达为时间坐标t和空间坐标的函数，这种物理量的变化规律往往表现为它关于时间和空间坐标的各阶变化率之间的关系式，即函数u关于t与的各阶偏导数之间的等式。例如在一个均匀的传热物体中,温度u就满足下面的等式：(1)这样一类的包含未知函数及其偏导数的等式称为偏微分方程。一般说来，如果是自变量，以u为未知函数的偏微分方程的一般形式是(2)这里F是它的变元的函数，所包含的偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶数。由若干个偏微分方程所构成的等式组就称为偏微分方程组，其未知函数也可以是若干个。当方程的个数超过未知函数的个数时，就称这偏微分方程组为超定的；当方程的个数少于未知函数的个数时，就称为欠定的。如果一个偏微分方程（组）关于所有的未知函数及其导数都是线性的，则称为线性偏微分方程（组）。否则，称为非线性偏微分方程（组）。在非线性偏微分方程（组）中，如果对未知函数的最高阶导数来说是线性的，那么就称为拟线性偏微分方程（组）。设Ω是自变数空间R中一个区域，u是在这个区域上定义的具|α|阶连续导数的函数。如果它能使方程(2)在Ω上恒等成立，那么就称u是该方程在Ω中的一个经典意义下的解，简称为经典解。在不致误会的情况下，就称为解。偏微分方程理论研究一个方程（组）是否有满足某些补充条件的解（解的存在性），有多少个解（解的惟一性或自由度），解的各种性质以及求解方法等等，并且还要尽可能地用偏微分方程来解释和预见自然现象以及把它用之于各门科学和工程技术。偏微分方程理论的形成和发展都与物理学和其他自然科学的发展密切相关，并彼此促进和推动。其他数学分支，如分析学、几何学、代数学、拓扑学等理论的发展也都给予偏微分方程以深刻的影响。另一种概述在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。9，偏微分方程的发展偏微分方程偏微分方程的起源如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。偏微分方程的内容偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以介绍。弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的 F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来。用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。拿上面所举的弦振动的例子来说，对于同样的弦的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同。天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时间，这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件。就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值问题。当然，客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”，如定场问题（静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也有“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了。在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。偏微分方程的解法还可以用分离系数法，也叫做傅立叶级数；还可以用分离变数法，也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题，分离变数法可以求解无界空间的定解问题；也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程，而且初始条件也一并考虑到，解出常微分方程后进行反演就可以了。应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。描述振动或波动现象的一类重要的偏微分方程。它的一个典型特例是波动方程n=1时的波动方程微小横振动，称为弦振动方程。这是最早得到系统研究的一个偏微分方程可用来描述弦的。它的解具有十分简单的结构，即总可表为一个右传播波和一个左传播波的叠加u=f(x－t)+g(x+t）。因此，给定弦的初始位移和速度就可得到柯西问题（2）、（3）的解的表达式称为达朗贝尔公式。利用分离变量法，将弦的振动分解为基音和泛音的叠加，还可以求解诸如两端固定弦的振动等问题。波动方程可用来描述膜的横振动（n=2）以及弹性体的振动和声波、电磁波等的传播（n=3），在应用上十分重要。在波动方程的研究中，特征锥面(n=1时为特征线：x±t=常数）在求解及刻画解的性质等方面都起着重要的作用。利用二维与三维波动方程柯西问题的解的表达式（泊松公式），可以看到二维与三维的波动在性质上有很大的不同。三维波动的传播无后效，这对现实世界中信号的传送与接收有重要的意义，而二维波动却具有后效现象。对一般的二阶线性偏微分方程式中系数及右端项?均设为的适当光滑的函数，如果对任一（t,x），由方程（4）的主部所决定的特征方程对任何都有两个相异的实根（称为特征根）λ=λ1(t,x，ξ）及λ=λ2(t,x，ξ），则称方程（4）对t方向为双曲型方程，简称双曲型方程。如果这两个相异实根能被一致地分隔开来，即成立则称（4）为正规双曲型方程。波动方程（1）就是一个正规双曲型方程。这个主要是用在物理里面有一门专门的数学物理方程就是讲解3种物理问题常见的偏微分方程的解法与其他数学分支联系不大应该说这个主要就是物理学研究的一个工具我知道的有北京科技大学的陈明文老师有专门的出版一本<>这个学科应该没什么发展了因为已经比较复杂了只是套用公式和一些方法解特定的方程并且他教你的方法只是解那些特殊形式的偏微分方程不过话说回来物理学常出现的也就是那几种特殊形式的