质数 ， 也称素数 ， 指大于1的自然数中 ， 除了1和本身外 ， 不能被其他自然数整除的数 ， 如：2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11…… ， 通常用“p”表示 。
素数的分布规律至欧几里德以来就是个迷 。今天 ， 我们来认识下 ， 素数的重要分布规律——素数定理 。这是目前发现的 ， 最重要的且被证明限制素数分布的定理之一 。
欧几里德
欧几里德在大约公元前300年 ， 就漂亮地证明了素数有无数个 ， 从此人们开始了寻找素数公式的历程 。
大数学家欧拉在给丹尼尔·伯努利的一封信中写道：“素数的计算公式 ， 在我们这辈子可能找不到了 。不过 ， 我还是想用一个式子来表达它 ， 但并不能表示出所有素数 。n^2-n 41 ， n等于1到40″ 。
欧拉给出的这个多项式 ， 在n=41时失效了 ， 后来哥德巴赫给欧拉的信中提到：”一个整系数多项式 ， 是不可能对所有整数取到素数的 ， 但有些多项式可以得到很多素数 。”
后来欧拉漂亮地证明了哥德巴赫的这个猜想 ， 欧拉对数论的贡献相当多 ， 数论四大定理之一就有个——欧拉定理 ， 而欧拉的素数乘积式 ， 是开启黎曼猜想的金钥匙 。
欧拉和欧拉乘积式
对素数的研究 ， 欧拉过后 ， 直到高斯才有了进展 ， 大约在1792年 ， 15岁的高斯就发现 ， 素数在自然数中的分布密度 ， 趋近于类似于对数积分的函数 。
同时期的数学家勒让德(A.M.Legendre)也提出了等价的猜想 ， 但他们都无法对其证明 ， 至此 ， 这个问题成了数学界的顶级难题 ， 甚至在数学界流传着：如果谁证明了这个猜想 ， 那么他将会得到永生 。
【什么叫素数、什么叫质数 素数为什么叫素数】证我者 ， 得永生！
直到一百多后的1896年 ， 这个猜想才被两位年轻的数学家阿达马和德·拉·瓦莱布桑独立证明 ， 他们的证明都是根据黎曼的思路走的 ， 其中运用到了高深的整函数理论 ， 至此 ， 这个猜想正式升级为定理——素数定理（PNT） 。
素数定理
值得一提的 ， 他们两人一个活了96岁 ， 一个活了98岁 。
素数定理还有个初等表达式：
素数定理初等表达式
该定理可以推出很多有趣的结论 ， 比如：
N是素数的概率～1/lnN；
第N个素数～NlnN；
这两个推论和PNT互为充要条件 。
虽然我们有了PNT ， 但是PNT给出的绝对误差实在是糟糕透了 ， 比如第10000个素数104729 ， 而PNT给出的是92103 ， 这是数学家不能接受的 ， 我们想要的是准确的素数公式 。
直到黎曼在1859年才给出了π(x)的准确表达式：
黎曼关于素数计数函数π(x)的表达式
但是该表达式基于一个猜想为前提 ， 即大名鼎鼎的黎曼猜想 ， 至今乃是数学界待解决的重要猜想 。想了解更多黎曼猜想的趣事 ， 可以阅读我之前的文章呢《若此数学猜想被破解 ， 世界网络将陷入瘫痪！—黎曼猜想》
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