高等代数矩阵的秩线性代数矩阵秩常用等式和不等式 _不等式

设A是m×n矩阵， B是n×s矩阵。
证明西尔维斯特不等式:
R(AB)≥R(A) R(B)-n
在遇到这种比较多个矩阵秩的问题时，最常用的方法就是利用分块矩阵的初等变换。
因为R(AB)≥R(A) R(B)-n ，所以
R(AB) n≥R(A) R(B)
R(AB) n是由矩阵AB和单位矩阵e组成的分块矩阵h的秩。

矩阵h
R(A) R(B)是矩阵A和矩阵B组成的分块矩阵t的秩。

矩阵t
根据题意，我们可以知道矩阵H的秩大于等于矩阵H的秩..
我们对矩阵h进行初等变换。
矩阵H的第二行乘以矩阵A ，加到第一行。

将矩阵的第二列乘以矩阵(-B)并将其加到第二列。

将矩阵的第一列乘以(-1) 。

因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，
因此，矩阵H的秩等于矩阵H’的秩。
因此， R(H)=R(H ')
= R(A) R(E)
=R(A) n
=R(AB) n
因为矩阵T的秩是R(A) R(B)
所以， r (t) ≤ r (a) n 。
此外， R(T)≤R(H)
所以， r (a) r (b) ≤ r (ab) n 。
【高等代数矩阵的秩线性代数矩阵秩常用等式和不等式】即r (ab) ≥ r (a) r (b)-n 。
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