四个反直觉的数学真理欧拉恒等式证明 _云知道

在数学中，我们通过证明或已有的结果推导出我们并不完全理解的东西。下面我用四个简单而有趣的例子来解释。
第一个，欧拉恒等式

这就是众所周知的欧拉恒等式。对我来说，数学最有趣的地方是发现我们并不完全理解的事物。欧拉恒等式是其中之一。
对于超越数（比如，e和π包含在这个公式中），我们发现它经常出现在我们的现实生活中。比如计算半衰期，或者计算房子的利率，或者计算圆周与直径的比率。我们知道数字1的必要性，当它与自身相减时，结果是0 。有了0，1，和- 1的平方根的定义，再加上我们关于唯一性的规则公理，我们就可以构造出整个数字系统。所有的知识都在这个方程里。但很多人并不真正理解它，想要深入了解欧拉恒等式，可以阅读我的这篇文章：数学界最著名、最伟大、最美丽的公式之一——欧拉公式
这有点像重力，因为牛顿知道有一个力作用在从树上落下的苹果上。但是，直到今天，我们仍然对它到底是什么有争议。
斯坦福大学的基思·德夫林教授（1947-）这样评价欧拉恒等式：
欧拉恒等式就像莎士比亚的十四行诗捕捉到了爱的精髓，也像一幅画展现了不仅仅是肤浅的人体之美，它触及到了存在的最深处。
哲学家、数学家、哈佛教授本杰明·皮尔斯（Benjamin Peirce）也说过：
这绝对是荒谬的，我们无法理解它，也不知道它意味着什么，但我们已经证明了它，因此我们知道它一定是事实。
这就是欧拉恒等式的核心。事实上，它是很多数学的核心（对证明工作的严格要求，完成和组织正确的逻辑）。但是，即使有了所有的逻辑思维和精准性，它仍然缺乏真正的意义。就像万有引力一样，欧拉恒等式确实存在。它无疑是真理。
我们使用这个恒等式中涉及的元素，让它们出现在许多应用程序中。我们发现它们存在于与纯数学相去甚远的学科中。我们知道它们对我们所知的现实进行了高度精确的解释。它们几乎对我们遇到的所有东西进行建模。它们改善了绝大多数人的生活却没有得到社会的认可。它们是世界上看不见的真理。你不需要了解他们，就能从中获益。
但是，如果有人问我，为什么是欧拉恒等式，我不能告诉你。这就是它的有趣之处。这是一个如此强大的等式，将数学中如此多的元素联系在一起，但我们并没有真正理解它。
第二个，复利

关于复利最著名的话莫过于爱因斯坦的：
宇宙间最大的能量是复利，世界的第八大奇迹是复利。
还记得我们在欧拉恒等式中看到的e吗？它与很多东西都有联系，但让我们从它的发现开始，然后看看它的怪异之处。
1683年，雅各布·伯努利提出了一个关于复利的问题：
一个账户从$1.00开始，每年支付100%的利息。如果一年计息一次，在年底，这个账户在年底的余额将是2美元。如果一年计息n次（每次利率为1/n），年底账号余额是多少？
意思是，如果一年计息2次，每6个月你可以得到50%的收益。也就是说，年底有：