复分析中的解析延拓是为了扩展函数的定义域 ， 也就是说当出现函数在某些点无法计算甚至不存在时 ， 数学家改变函数的计算方法 ， 使得这些点上的函数值仍然可以计算 。当然这些改变是有条件的 。第一条就是单一性 ， 也就是说 ， 函数值是唯一的 。另一条就是保持函数的解析性能不变 。这一条是关键 ， 也是解析延拓的难点 。
我们普通人首先要理解什么是函数的解析性 。这个也有难度 。粗略地讲 ， 所谓解析都是跟微积分有关的运算 ， 函数在一个点可微性是函数能够解析的起点 。所以解析延拓要保证整个函数的解析性能 ， 必须在任何点上都是可微的（也就是可以求微分） 。其次解析延拓要保证函数的解析性能 ， 就必须满足所谓的柯西-黎曼方程 ， 这也是必要条件 。我们一般人没必要去深究什么是柯西-黎曼方程 ， 我们只要知道解析延拓必须有一些微积分方面的限制就可以了 。
按照伟岗的理解 ， 数学家的思维比我们普通人要深远很多 。微积分运算就是一个很好的例子 。我们普通人一般只能理解简单四则运算关系 ， 而数学家把数于数的关系上升到微积分这个层次 ， 在那个层次上体现的性质有其独特的地方 ， 这也是解析延拓的一大意义 。
一般复分析中解析延拓是以gamma函数为起点介绍的 。Gamma函数简单地讲就是阶乘的扩展 。我们知道 ， 阶乘运算只对正整数有效 ， 也就是说4的阶乘（一般用4！表示）等于4X3X2X1 ， 6的阶乘（一般用6！表示）等于6X5X4X3X2X1 ， 正整数n的阶乘（一般用n！表示）等于nx(n-1)x(n-2)……x2x1 。但是分数或者负数甚至复数的阶乘就没有定义了 ， 这时gamma函数就出现了 。不太准确地说 ， gamma函数就是阶乘运算的解析延拓 。因为相比较zeta函数 ， gamma函数稍微简单一些 ， 所以数学家喜欢拿它做例子 。
无论是gamma函数还是zeta函数 ， 它们的解析延拓在我们普通人眼中都会产生一些奇怪的结论 。比如分数的阶乘是负数 ， 全体自然数的和是负数等 。这个现象还不好解释 。
按照伟岗的理解 ， 所谓解析延拓改变了函数的计算公式 ， 这包含两层意思 ， 第一层意思是由于定义域的扩展 ， 原来不能计算的定义域 ， 现在可以用新公式计算了 ， 比如原来分数的阶乘不能计算 ， 现在经过解析延拓后可以计算了 。第二层意思就是原来的分数阶乘也不是严格定义的分数阶乘 ， 也就是说对分数的阶乘运算只是阶乘运算的解析延拓 ， 而不是直接阶乘运算 。或者说 ， 只是解析性质得到保持 ， 而不是阶乘运算的一切都保持 。这样分数的阶乘等于负数 ， 意味着等于负数的不是严格意义的分数阶乘 。用zeta函数为例的话 ， 解析延拓后全体自然数的求和 ， 也不是我们想象中自然数的求和 ， 是自然数求和经过了延拓变换 ， 这样等于负数 ， 也就是可能的了 。
当然这个解释不是特别有说服力 。毕竟阶乘运算的解析延拓本质还是阶乘运算 ， 计算出现异常 ， 里面肯定有什么玄机 ， 不过现在数学家还没有参透里面的奥秘 ， 所以暂时被搁置 。
我们再回到黎曼的论文上 。黎曼对zeta函数做了个解析延拓 ， 目的是为了利用欧拉公式 ， 而这个欧拉公式把zeta函数的求和运算跟素数的连乘运算联系起来 ， 这是黎曼把zeta函数用到素数研究的基础 。
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