式1.7我们在式1.3中见过x?x，代欧几里得范数后得到：
式1.8这导致了λ和它的复共轭相等：
式1.9只有在一种情况下，式1.9才有效，即λ是实数 。这样一来，我们就完成了证明 。
性质2. 特征值所对应的特征向量是正交的
这个证明也是一个直接的形式证明，但很简单 。首先我们需要清楚目标 ， 即：
式1.10考虑一个对称矩阵A，x_1和x_2是A的特征向量，对应于不同的特征向量（我们需要这个条件的原因将在稍后解释） 。根据特征值和对称矩阵的定义，我们可以得到以下公式：
式1.11和式1.12现在我们需要证明式1.10 。让我们试着把x_1和x_2放在一起- 。在左边用 (Ax?)?乘以x??：
式1.13在式1.13中，除了对称矩阵的特性外，还用到了另外两个事实 。
矩阵乘法符合结合律（可以用结合律运算）矩阵-标量乘法是可交换的（可以自由移动标量） 。然后，由于点积是可交换的，这意味着x??x?和x??x?是等价的 ， 所以我们有：
式1.14其中x_1?x_2表示点积 。如果λ_1≠λ_ ， 那么x_1?x_1=0，这意味着这两个特征向量是正交的 。如果λ_1 = λ_2，则有两个不同的特征向量对应于同一个特征值 。由于特征向量在(A-λI)的零空间（表示为N(A-λI)），当一个特征向量对应于多个特征向量时，N(A-λI)的维数大于1 。在这种情况下，我们对这些特征向量有无限多的选择，我们总是可以选择它们是正交的 。
显然，有些情况下，实数矩阵有复数特征值 。这发生在旋转矩阵上 。为什么会这样呢？假设Q是一个旋转矩阵 。我们知道 ， 特征向量在被Q作用后不会改变方向 。但如果Q是一个旋转矩阵，如果x是一个非零向量 ， x怎么可能不改变方向呢？结论是，特征向量必须是复数（好好想一想吧） 。
二维空间中的旋转矩阵R(θ)如下所示：
旋转矩阵R(θ)将一个向量逆时针旋转一个角度θ，它是一个具有复数特征值和特征向量的实矩阵 。
性质3. 对称矩阵总是可对角化的（谱定理）
这也与对称矩阵的其他两个特性有关 。这个定理的名字可能让人困惑 。事实上，一个矩阵的所有特征值的集合被称为谱（ spectrum） 。另外，我们可以这样想 。
特征值-特征向量对告诉我们，在给定的线性变换之后，一个向量在哪个方向上被扭曲 。
如下图所示，经过变换后，在v_1的方向上，图形被拉伸了很多，但在v_2的方向上却没有很大的拉伸 。
一个可对角线化的矩阵意味着存在一个对角线矩阵D（对角线以外的所有元素都是零），使得P-1AP=D，其中P是一个可逆矩阵 。我们也可以说，如果一个矩阵可以写成A=PDP-1的形式，那么该矩阵就是可对角的 。
分解通常不是唯一的，但只有D中对角线上的元素的排列和P中特征向量的标量乘法才是唯一的 。另外我们需要注意的是，无论矩阵是否对称，对角线化都等同于找到特征向量和特征值 。然而 ， 对于非对称矩阵，D不一定是正交矩阵 。
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