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指数函数的性质

小知识

【指数函数的性质】指数函数：一般地，函数y=a^x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 R （实数） 。 ”

指数函数的性质


理解：
【1】a^x系数为1，否则不是指数函数；
【2】x须在指数位置，且不能是x的其它表达式（即只能是x本身）；
【3】a是常数，
【4】(为什么要a>0)，如果a=0,指数x≠0时函数值等于0,x=0时函数值无意义，此时自变量就不能取0了 。 如果a<0,那么a的x次方这个幂将不连续，且出现无法确定是否有意义的不定点 。 因为负数不能开偶数次方，所以当x是最简分数时，分母为偶数的指数将使得a的x次方无意义 。 综上：为了指数取值范围为实数所以规定a>0 。
【5】（a≠1）如果a=1,则y恒等于1,那么这个函数就变成了y=1常数函数，没必要在指数函数中进行研究 。
(1)曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为(-∞，+∞) 
(2)曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠近X轴(x轴是曲线的渐近线)〈=〉函数的值域为(0，+∞) 
(3)曲线过定点(0，1)〈=〉x=0时，函数值y=a^0(零次方)=1(a>0且a≠1) 
(4)a>1时，曲线由左向右逐渐上升即a>1时，函数在(-∞，+∞)上是增函数;0<a<1时，曲线逐渐下降即0<a<1时，函数在(-∞，+∞)上是减函数
函数y＝a^x（a＞0,且a≠1）叫做指数函数 。
（1）当t=1时，在图中的直角坐标系内作出函数y=f（x）的大致图象，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）．
（2）设an=f（n）（n∈N*），当t＞10，且t∉N*时，试判断数列{an}的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用[t]来表示不超过t的最大整数）．
（3）利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N*），…在上述构造过程中，若xi（i∈N*）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．若可用上述方法构造出一个常数列{xn}，求t的取值范围． 

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