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张角定理的证明

小知识

【张角定理的证明】证法1：
设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD
由分角定理，
S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)
→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)
S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)
→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)
(1.1)式+(1.2)式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD 。
证法2：
由正弦定理，
AD/sinB=BD/sin∠1，　(2.1)
AD/sinC=CD/sin∠2，　(2.2)
AB/sinC=BC/sin(∠1+∠2)，　(2.3)
AC/sinB=BC/sin(∠1+∠2)；　(2.4)
那么由(2.1)，(2.2)，BD=ADsin∠1/sinB，CD=ADsin∠2/sinC，从而
BC=BD+CD=AD(sin∠1/sinB+sin∠2/sinC)　(2.5)
由(2.3)，(2.4)，知sin∠1/AC=sin∠1sin(∠1+∠2) / BCsinB，sin∠2/AB=sin∠2sin(∠1+∠2) / BCsinC 。
将以上两式相加，并将(2.5)代入即可 。
证法3：
由面积和得：
0.5sin∠BAD*BA*AD+0.5sin∠DAC*DA*AC=0.5sin∠BAC*BA*AC

张角定理的证明



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