【Quadrature,quadrature】古代数学中的“化圆为方”是什么意思？该如何理解这一概念？
化圆为方 ， 与三等分角、倍立方体并称古希腊三大几何作图问题 。给定一个圆 ， 它要求我们用圆规和直尺画出一个面积相等的正方形 。这个坑一挖开 ， 从古希腊到现在不断有人往里跳 。化圆为方传说化圆为方问题（problem of quadrature of circle）是二千四百多年前古希腊人提出的三大几何作图问题之一 ， 即求作一个正方形 ， 使其面积等于已知圆的面积 。
古希腊的时候 ， 有一位学者 ， 叫做安拉克萨哥拉 ， 相传哲学家安娜萨格拉斯在研究太阳时发现 ， “太阳是一个大火球 ， 并不是人们所说的阿波罗神 ， ”由于这一发现被认为是对神的亵渎 ， 于是他被投入了监狱里 。他对自己的遭遇感到愤愤不平 ， 无法安睡 。明亮的月光透过方形的窗户照下来 ， 于是他对月亮和方形窗户产生了兴趣 ， 他不断变换位置 ， 使得窗外的月亮有时看起来比窗户大 ， 有时看起来比窗户小 ， 于是他想到什么时候月亮的面积和窗户的面积一样大呢？他将这个问题转化为：求做一个正方形 ， 使得它的面积等于已知圆的面积的作图问题 ， 这就是著名的化圆为方的问题 。
问题可转化为：已知圆的半径为1 ， 所求作的正方形边长为x ， 则需满足x2-π=0,即x=√π.这个问题看似简单 ， 然而却难住了安拉克萨哥拉 。因为 ， 在古希腊 ， 对作图工具进行了限制 ， 那就是：作图时只准许使用直尺和圆规 。安拉克萨哥拉在狱中苦苦思考这个问题 ， 完全忘了自己是一个待处决的犯人 。后来 ， 由于好朋友 ， 当时杰出的政治家伯利克里的营救 ， 安拉克萨哥拉获释出狱 。
然而这个问题 ， 他自己没有能够解决 ， 整个古希腊的数学家也没能解决 ， 成为历史上有名的三大几何难题之一 。后来 ， 在两千多年的时间里 ， 无数数学家对这个问题进行了论证 ， 可还是没有得出答案 。达·芬奇的“解法”有人跳坑 ， 也就肯定有人耍点小聪明绕道而行 。天才总是不拘一格的…… ， 达芬奇给出的解法 ， 是这样的：用一个以已知圆为底 ， 高度为已知圆的半径的一半的圆柱体 ， 在平面上滚动一周 ， 所得出来的矩形的面积即为：S=2πr·1/2r=πr2 ， 然后将这个矩形化为等面积的正方形即可 。
（如下图） ， 这个方法相当狡猾 ， 用“度量”的方法巧妙避开了“作出 π 的平方根”这个问题 。当然 ， 在欧几里德这些希腊人的眼中 ， 这种方法只是取巧 ， 因为一来不精确 ， 二来太犯规 ， 用了直尺圆规以外的工具 。即使用直尺和圆规来度量也不行 ， 尺规作图的规定就是 ， 直尺只能拿来画直线 ， 圆规则是画圆 ， 它们不能有“度量”的功能 。
但是这并不能怪希腊人 ， 因为到了1882年 ， 德国数学家林德曼 ， 才证明圆周率π是一个“超越数” 。而同样在19世纪 ， 有人证明了如果设任意给定长度单位 ， 则标尺可作的线段段长必为“代数数”（代数数指能满足整系数代数方程的数 ， 而超越数则是不能满足整系数代数方程的数 ， 如2的平方根是代数数 ， 因为它满足方程x2-2=0；而π则是超越数） 。
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