勾股定理证明图，勾股定理证明方法含图 _证明

1，勾股定理证明方法含图一个正方形，里面由四个直角三角形和一个正方形构成你老师没给你讲吗?

2，勾股定理的证明方法带图勾股定理的证明方法如下，共5种方法：

3，如何用赵爽的图来证明勾股定理我国最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b－a，则面积为（b－a）^2 。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）＋（b－a）^2＝c^2，化简后便可得：a^2＋b^2＝c^2【勾股定理证明图，勾股定理证明方法含图】

4，如何看待人教版教材疑似出现低级错误用爱因斯坦相对论证明勾股定理勾股定理又称为毕达哥拉斯定理,它属于初中的几何知识,证明方法一般初中的方法比较常见,但是有一些方法大家可以了解一下,这些证明还是非常有趣的.1.这算不算,我觉得挺有趣,但并不严谨,但无疑它有助于我们理解勾股定理.2.这算初中的吗?但它并不常规,你能看懂吗?可以理解为射影定理.3.我觉得最快捷的方法还是把余弦定理中的那个夹角改成90度,就直接就是勾股定理了.但是要注意到的是,它还是要用到几何知识的.4.美国总统证法,利用面积可以证到.5.中国古代的拼图证法6毕达哥拉斯拼图证法我倒是觉得几何法证明勾股定理比较流行,几乎都有几何的影子,片面追求非几何的证明方法并不可取.我是学霸数学,欢迎关注!勾股定理又称为毕达哥拉斯定理,它属于初中的几何知识,证明方法一般初中的方法比较常见,但是有一些方法大家可以了解一下,这些证明还是非常有趣的.1.这算不算,我觉得挺有趣,但并不严谨,但无疑它有助于我们理解勾股定理.2.这算初中的吗?但它并不常规,你能看懂吗?可以理解为射影定理.3.我觉得最快捷的方法还是把余弦定理中的那个夹角改成90度,就直接就是勾股定理了.但是要注意到的是,它还是要用到几何知识的.4.美国总统证法,利用面积可以证到.5.中国古代的拼图证法6毕达哥拉斯拼图证法我倒是觉得几何法证明勾股定理比较流行,几乎都有几何的影子,片面追求非几何的证明方法并不可取.我是学霸数学,欢迎关注!多数是采用面积证法。將原有图形进行分割，再拼接为一个新的图形，利用分割前后图形面积是相同的原理，从而来证明勾股定理。No.1 赵爽弦图比如：教科书上采取的是我国古代数学家赵爽的证明方法，也就是我们所熟悉的赵爽弦图。这个证明还是很经典的。附上教科书的演示图：这里就不进行文字说明啦！让动态图来说话吧！请见下图：这是将课本的图形象化、动态化，瞬间懂了吧？还有一些勾股定理的无字证明系列，例如：No.2 毕达哥拉斯证法：这个方法也有出现在教科书上。No.3 也是面积法主要是利用同底等高。勾股定理又称为毕达哥拉斯定理,它属于初中的几何知识,证明方法一般初中的方法比较常见,但是有一些方法大家可以了解一下,这些证明还是非常有趣的.1.这算不算,我觉得挺有趣,但并不严谨,但无疑它有助于我们理解勾股定理.2.这算初中的吗?但它并不常规,你能看懂吗?可以理解为射影定理.3.我觉得最快捷的方法还是把余弦定理中的那个夹角改成90度,就直接就是勾股定理了.但是要注意到的是,它还是要用到几何知识的.4.美国总统证法,利用面积可以证到.5.中国古代的拼图证法6毕达哥拉斯拼图证法我倒是觉得几何法证明勾股定理比较流行,几乎都有几何的影子,片面追求非几何的证明方法并不可取.我是学霸数学,欢迎关注!多数是采用面积证法。將原有图形进行分割，再拼接为一个新的图形，利用分割前后图形面积是相同的原理，从而来证明勾股定理。No.1 赵爽弦图比如：教科书上采取的是我国古代数学家赵爽的证明方法，也就是我们所熟悉的赵爽弦图。这个证明还是很经典的。附上教科书的演示图：这里就不进行文字说明啦！让动态图来说话吧！请见下图：这是将课本的图形象化、动态化，瞬间懂了吧？还有一些勾股定理的无字证明系列，例如：No.2 毕达哥拉斯证法：这个方法也有出现在教科书上。No.3 也是面积法主要是利用同底等高。题主问的应该是这两天网上所讨论的比较热的人教版教材低级错误事件，事情是这样的，有人在网上发布了几张某初中数学教材的截图，图片如下截图的内容是讲述爱因斯坦如何利用相对论来证明勾股定理，乍一看很深奥，但仔细读下去便会发现其中极其荒谬的错误。根据质能方程E=mc2就说斜边为c的直角三角形面积就是mc2，这是纯粹的胡说八道，张冠李戴。让人惊讶的是，这么严重且低级的错误竟然出自于官方的课本，就是人教版数学自读课本，八年级下册。官方的教材竟然出现这种错误，实在是不可思议。我们先来探讨一下，为什么会出现上面这个奇葩的证明方法，有人在网上发现了几年前的一则帖子，正是这种方法的来源按照帖子的自述，发帖时间应该是2005年，也就是说这种荒谬的证明方法网上早已存在。至于人教版上的内容是不是来源于这个帖子，目前暂不得而知，但教材编写人没有对这种方法进行认真审查是肯定的了。那么说爱因斯坦证明了勾股定理到底是怎么回事呢？有人找到了国外的文献这上面所讲的方法是正确的，为了方便看不懂英文的读者，我给他大致叙述一下。设直角三角形的三条边分别为a、b、c，过直角顶点向斜边做高，如图所示：三个三角形的面积分别记为Ea，Eb和Ec，初中相似三角形的知识告诉我们两件事情：1.图中出现的三个直角三角形是彼此相似的2.相似三角形面积比等于边长比的平方于是有其中m是比例常数，把分母分别乘过去，于是进一步有两个小三角形加在一起等于大三角形：于是消掉m便得到了勾股定理。这个证明是完全正确的，并且是非常巧妙的。如果真的是爱因斯坦想出来的，那确实证明了爱因斯坦拥有过人的天赋。好了，下面来反思一下这件事情暴露了什么问题。首先，原帖那种荒谬的证法充满了浓浓的“民科”气息。“民科”的一个重要特征就是，总喜欢把一些高深的理论挂在嘴边，比如相对论，哥德巴赫猜想，黎曼猜想等等。但实际上，大多数情况下，所谓的民科根本弄不清这些东西是啥，不肯去踏踏实实读书和学习，整天自己胡思乱想，于是便会非常可笑得乱用一些理论，张冠李戴，事实上完全是错误的。这种证法就是一个典型的例子，貌似用相对论这样一个很高深的理论，但实际上对相对论的理解完全是错误的，质能方程跟三角形面积没有任何关系。这个错误如此低级，以至于很多人怀疑这个帖子发出来就是为了反讽民科用的，在此我也赞同这种想法。因为这个帖子符合了很多“钓鱼帖”的特征。其次，这充分暴露出教材编写过程中的一系列问题。笔者也曾经参与过教材的编写，我相信，真正编写教材的人肯定是具有真才实学的和专业水平的。之所以这次出现这么大的失误，更多可能与管理有关，而非编写本身。比如编辑不认真审查，后期校对程序不完整等等。总之，作为官方教材出现这样的错误是个非常大的教训，值得每一个人反思。另外，也可能与教材本身不受重视有关。因为这不是教学用的教材，而是课外读本，老实话讲，很多学生对于这个读本可能连看都不看。因此编辑们可能就比较松懈，没有重视，而导致失误，这也可能是原因之一。最后我想说，这个事件还暴露出另外一个非常严峻的问题，就是文科生与理科生彼此无法沟通的问题。说句实话看到书上写的这个证明，我第一反应是，编写者不会是个文科生吧？因为文科生在科学方面的素养相对薄弱，面对一些比较高深的理论，比如相对论，微积分等等，无法判断其真假，看到爱因斯坦的大名就觉得他应该是正确的，于是就把它写到了教材上。其实这种事情在历史上发生过，而且曾经引起过非常严肃的讨论，就是发生于上世纪90年代的美国的“索克尔事件”(Sokal Affair) 。这个事件非常有名，有兴趣的读者可以参见我的文章。这里只是大概的说一下，就是有一名叫索克尔的物理学教授，对当时美国社会里文科专家们对科学随意指指点点的行为现象不满，于是便胡编乱造了一篇文章，里面故意塞进去一大堆高端的物理学和数学名词，但实际上全都是错的。然后他把文章投给了当时在文科领域非常有名的一本杂志，杂志的编辑们审查之后就把它发表了。然后索克尔自己跳出来说自己那篇文章是瞎编的，于是在文科领域和科学领域都引起了轩然大波。这次人教版的事情颇有点类似于索克尔事件，讲值得每一个教育工作者和研究者来反思。5，勾股定理的证明要图简单的自己在纸上画出一个边长分别为3、4、5、（用尺子画，取厘米）然后，很明显地看出这个三角形就是直角三角形证明：3+4>54-3<5所以3、4、5、能构成三角形3^2+4^2=5^2另外,是直角三角形的还有：6、8、1012、13、5这些都是比较容易的6，勾股定理16种证明方法勾股定理16种证明方法勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方,即在以a、b为直角边，c为斜边的三角形中有a^2+b^2=c^2 。方法1/16证法一（邹元治证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使A、E、B三点共线，B、F、C 三点共线，C、G、D三点共线。∵Rt△HAE≌Rt△EBF∴∠AHE=∠BEF∵∠AHE+∠AEH=90°∴∠BEF+∠AEH=90°∵A、E、B共线∴∠HEF=90°，四边形EFGH为正方形由于上图中的四个直角三角形全等，易得四边形ABCD为正方形∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积∴(a+b)^2=4?（1/2）?ab+c^2，整理得a^2+b^2=c^2请点击输入图片描述2/16证法二（课本的证明）：如上图所示两个边长为a+b的正方形面积相等，所以a^2+b^2+4?（1/2）?ab=c^2+4?（1/2）?ab，故a^2+b^2=c^2 。请点击输入图片描述3/16证法三（赵爽弦图证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼。易得四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积∴c^2=4?（1/2）?ab+(b-a)^2 ，整理得a^2+b^2=c^2请点击输入图片描述4/16证法四（总统证明）：如下图所示。易得△CDE为等腰直角三角形∴梯形ABCD的面积=两个直角三角形的面积+一个等腰三角形的面积∴1/2?（a+b）?（a+b）=2?（1/2）?ab+（1/2）?c^2，整理得a^2+b^2=c^2请点击输入图片描述5/16证法五（梅文鼎证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使DEF在同一直线上，过C点作CI垂直于DF,交DF于I点。易得四边形ABEG、四边形CBDI、四边形FGHI都为正方形。∴多边形EGHCB的面积=正方形ABEG的面积-两个直角三角形的面积且多边形EGHCB的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积-两个直角三角形的面积∴正方形ABEG的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积∴c2=a2+b2请点击输入图片描述6/16证法六（项明达证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形，做一个边长为c的正方形，按下图所示相拼，使E、A、C在同一条直线上。过Q点作QP⊥AC，交AC于P点分别过F、B作QP的垂线段，交点分别为M、N易得四边形ABQF为正方形利用全等三角形的判定定理角角边（AAS）可得△AEF≌△QMF≌△BNQ，此时问题转化为梅文鼎证明。请点击输入图片描述7/16证法七（欧几里得证明）：在直角边为a、b，斜边为c的直角三角形中，分别以a、b、c为边作正方形，如下图所示。连接FB和CD，过C点作CN⊥DE交DE于E点，交AB于M点。∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD，∴△FAB≌△CAD（SAS）而△FAB的面积=△CAD的面积=（?）?ac sin（90°+∠CAB）=（?）a2∵△CAD与矩形AMND等底等高∴矩形AMND的面积为△CAD面积的两倍，即a2同理可得矩形BMNE的面积为b2∵正方形ADEB的面积=矩形AMND的面积+矩形BMNE的面积∴c2=a2+b2请点击输入图片描述8/16证法八（相似三角形性质证明）如下图所示，在直角三角形ABC中，AC=b，BC=a，AB=c,∠ACB=90°，过C点作CD垂直于AB，交AB于D点。∵∠BDC=∠BCA=90°，∠B=∠B∴△BDC∽△BCA∴BD∶BC=BC∶BA∴BC2=BD?BA同理可得AC2=AD?AB∴BC2+AC2=BD?BA+AD?AB=(BD+AD)?AB=AB2,即a2+b2=c2请点击输入图片描述9/16证法九（杨作玫证明）：做两个全等的直角三角形，设它们的两直角边分别为a、b（b>a）斜边长为c，再做一个边长为c的正方形，按下图所示相拼。过A点作AG⊥AC，交DF于G点，AG交DE于H点。过B作BI⊥AG，垂足为I点。过E点作EJ与CB的延长线垂直，垂足为J点，EJ交AG于K点,交DB于L点。∵∠BAE=90°∠GAC=90°∴∠EAK=∠BAC∵GA⊥AC,BC⊥AC∴GA∥BC∵EJ⊥BC∴EJ⊥GA∴∠EKA=∠C=90°而AE=AB=c∴△EAK≌△BAC（AAS）∴EK=a，KA=b由作法易得四边形BCAI为矩形∴AI=a,KI=b-a∵△BAC≌△EDF∴△EAK≌△EDF∴∠FED=∠KEA∴∠FEK=90°∴四边形EFGK为正方形，同时四边形DGIB为直角梯形用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为c2=S1+S2+S3+S4+S5 ①∵S8+S3+S4=?[b+(b-a)]?[a+(b-a)]=b2-?ab ，S5=S8+S9∴S3+S4=b2-?ab-S8=b2-S1-S8②把②代入①得c2=S1+S2+b2-S1-S8+S8+S9=b2+S2+S9=b2+a2请点击输入图片描述10/16证法十（李锐证明）：设直角三角形两直角边长分别为a、b（b>a）,斜边长为c 。做三个边长分别为a、b、c的正方形，按下图相拼，使AEG三点共线，过Q点作GM⊥AG,交点为M,用数字表示面积的编号。∵∠TBE=∠ABH=90°∴∠TBH=∠EBA∵∠T=∠BEA=90°，BT=BE=b∴△HBT≌△ABE（ASA）∴HT=AE=a，GH=GT-HT=b-a∵∠GHF+∠BHT=90°，∠TBH+∠BHT=90°∴∠GHF=∠TBH=∠DBC∵BD=BE-ED=b-a，∠G=∠BDC=90°∴△GHF≌△DBC（ASA），S7=S2由∠BAQ=∠BEA=90°,可知∠ABE=∠QAM∵AB=AQ=c∴△ABE≌△QAM（AAS）∴△QAM≌△HBT，S5=S8同时有AR=AE=QM=a，且∠QFM与∠ACR分别为∠GHF与∠DBC的余角∴∠QFM=∠ACR∵∠R=∠FMQ=90°∴△FMQ≌△CRA（AAS），S4=S6∵c2=S1+S2+S3+S4+S5,a2=S1+S6,b2=S3+S7+S8S7=S2,S8=S5,S4=S6∴a2+b2=S1+S6+S3+S7+S8=S1+S4+S3+S2+S5=c2请点击输入图片描述11/16证法十一（利用切割线定理证明）：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=b，AB=c，BC=a，以B为圆心，a为半径画圆，AB交圆与D点，AB的延长线交圆于E点。根据切割线定理（从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项）可得：AC2=AD?AE∴b2=(c-a)(c+a)=c2-a2∴a2+b2=c2请点击输入图片描述12/16证法十二（利用多列米定理证明）：在直角三角形ABC中，设BC=a，AC=b，斜边AB=c，过A点作AD∥CB,过B点作BD∥CA,则四边形ACBD为矩形，矩形ACBD内接于唯一的一个圆。根据多米列定理（圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和）可得：AB?DC=DB?AC+AD?CB∵AB=DC=c,DB=AC=b，AD=CB=a∴c2=b2+a2请点击输入图片描述13/16证法十三（作直角三角形的内切圆证明）：在Rt△ABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c 。作Rt△ABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F，如下图所示，设圆O的半径为r 。∵AB=AF＋BF,CB=BD＋CD,AC=AE＋CE∴AC+CB-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)=CE+CD=2r,即a+b-c=2r∴a+b=2r+c(a+b)2=(2r+c)2a2+b2+2ab=4(r2+rc)+c2∵S△ABC=?ab∴4S△ABC=2ab∵S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=?cr+?ar+?br=?(a+b+c)r=?(2r+c+c)r=r2+rc∴4(r2+rc)=2ab∴a2+b2+2ab=2ab+c2∴a2+b2=c2请点击输入图片描述14/16证法十四（利用反证法证明）：在Rt△ABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c 。过C点作CD⊥AB，垂足为D点，如下图所示。假设a2+b2≠c2，即AC2+BC2≠AB2则由AB2=AB·AB=AB·(AD+BD)=AB·AD+AB·BD知AC2≠AB·AD或BC2≠AB·BD即AD∶AC≠AC∶AB或BD∶BC≠BC∶AB在△ADC和△ACB中∵∠A=∠A∴若AD∶AC≠AC∶AB，则∠ADC≠∠ACB在△CBD和△ACB中∵∠B=∠B∴若BD∶BC≠BC∶AB，则∠CDB≠∠ACB∵∠ACB=90°∴∠ADC≠90°，∠CDB≠90°这与CD⊥AB矛盾，所以假设不成立∴a2+b2=c2请点击输入图片描述15/16证法十五（辛卜松证明）：直角三角形以a、b为直角边，以c为斜边。作边长为a+b的正方形。把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为(a+b)2=a2+b2+2ab把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为(a+b)2=4x?ab+c2=2ab+c2∴a2+b2+2ab=2ab+c2∴a2+b2=c2请点击输入图片描述16/16证法十六（陈杰证明）：设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c 。做两个边长分别为a、b的正方形，把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上。用数字表示面积的编号，如下图所示。在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a∴ DM = EM―ED = (b+a)―a = b又∵ ∠CMD = 90°，CM = a， ∠AED = 90°， AE = b∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC(SAS)∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180°， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90°∴ ∠ADC = 90°∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则四边形ABCD是一个边长为c的正方形∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90°∴ ∠BAF=∠DAE 。连结FB，在ΔABF和ΔADE中∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE∴ ΔABF ≌ ΔADE(SAS)∴ ∠AFB = ∠AED = 90°，BF = DE = a∴ 点B、F、G、H在一条直线上在RtΔABF和RtΔBCG中，∵ AB = BC = c，BF = CG = a，∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG (HL)∵c2=S?+S?+S?+S?， b2=S?+S?+S?， a2=S?+S?，S?=S?=S?=S?+S?，∴a2+b2=S?+S?+S?+S?+S?=S?+S?+S?+(S?+S?)=S?+S?+S?+S? =c2∴ a2+b2=c2请点击输入图片描述7，勾股定理证明方法最好带图用向量法证明，我不会表示向量，就口述一下，希望你能够理解证明:在三角形ABC中AB^2=BC^2+CA^2向量AB=向量CB-向量CA然后两边平方得出AB^2=CB^2+CA^2+2向量CB*CA*cos∠ABC因为∠ABC=90°，所以cos∠ABC=0综上所述AB^2=CB^2+CA^2，即为勾股定理。8，勾股定理证明方法带图关与初二数学勾股定理：直角三角形的斜边边长的平方等于两直角边长的平方和。看一个蓝色的直角三角形，短边，也就是一个小正方形的边，这个短边的平方在数值上就等于一个小正方形的面积。同样的长边的平方在数值上就等于四个小正方形的面积。斜边，就是图中绿色大正方形的一个边，斜边的平方就是绿色部分的面积。证明勾股定理我们就任意选定一个大的蓝色的三角形。直角边的平方和在数值上等于5个小正方形的面积。在数数图中绿色的地方的面积等于几个小正方形的面积。是5个。那么勾股定理就证明了。希望采纳9，勾股定理的证明图在图中，D ABC 为一直角三角形，其中 D A 为直角。我們在边 AB、BC 和 AC 之上分別画上三個正方形 ABFG、BCED 和 ACKH 。过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE 并交 DE 于 L，交 BC 于 M 。不难证明，D FBC 全等于 D ABD（S.A.S.）。所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ′ D FBC 的面积 = 2 ′ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2 。由此证实了勾股定理。http://staff.ccss.edu.hk/jckleung/jiao_xue/py_thm/py_thm.html里面有很多，这只是其中的第一种这是勾股定理的第二证明原理图。1楼给出了第一证明图。10，证明勾股定理有图勾股定理是余弦定理的特殊型C^2=A^2+B^2-2*A*B*cosC当C=90°时，cosC=0则C^2=A^2+B^2 - 2*A*B*cosC =A^2+B^2 -2*A*B*0 =A^2+B^2设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB 。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH 。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L 。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA 。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H 。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC 。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC 。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD 。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC 。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2 。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2 。把这两个结果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2 。用余弦定理证，cosx取90度，就证出来了两天直角边的平方和等于斜边的平方。11，勾股定理的证明方法带图利用相似三角形的证法利用相似三角形证明有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。设ABC为一直角三角形, 直角于角C（看附图）. 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H 。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义），而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：因为BC=a,AC=b,AB=c所以a/c=HB/a and b/c=AH/b可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+c*AH=c*(HB+AH)=c*c换句话说:a*a+b*b=c*c[*]----为乘号欧几里得的证法...因此AB^2 + AC^2= BC^2:a*a+b*b=c*c[*]----为乘号欧几里得的证法《几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等。在正式的证明中，则两三角形全等，同理可证B 。因为C;b可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH综合这两个方程式，因此C，并将此高与AB的交叉点称之为H，其面积分别与其余两个正方形相等，所以△ABD 必须相等于△FBC，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD 。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义）：设△ABC为一直角三角形。这些相似关系衍生出以下的比率关系：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形。设ABC为一直角三角形，由此可知第三只角都是相等的,AB=c所以a/ 。此线把对边上的正方形一分为二：因为BC=a 。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC 。同样道理。此线将分别与BC和DE直角相交于K、BAGF和ACIH，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。其证明如下。分别连接CF 。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1，我们得到a*a+b*b=c*HB+c*AH=c*(HB+AH)=c*c换句话说。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积,AC=b, 直角于角C（看附图）。∠CBD和∠FBA皆为直角. 从点C画上三角形的高、L，所以∠ABD等于∠FBC、和CA、CE的平行线;c=AH/、BDA 。设△ABC为一直角三角形。把这两个结果相加，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2，其中A为直角，形成两个三角形BCF 。画出过点A之BD;a and b/，使其垂直于对边上的正方形。从A点划一直线至对边。其边为BC 。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半，依序绘成四方形CBDE，而两个三角形都有A这个共同角， AB^2+ AC^2，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形，其直角为CAB，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2、AB;c=HB/ 。∠CAB和∠BAG都是直角，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC 。同理可证、A和G有共同线性、A 和 G 都是线性对应的、A和H 。因为 A 与 K 和 L是线性对应的、AD，都是基于相似三角形中两边长的比例。证明的概念为，我们需要四个辅助定理如下利用相似三角形的证法利用相似三角形证明有许多勾股定理的证明方式证法1（梅文鼎证明）作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f在一条直线上. 过c作ac的延长线交df于点p.∵ d、e、f在一条直线上, 且rtδgef ≌ rtδebd,∴ ∠egf = ∠bed，∵ ∠egf + ∠gef = 90°，∴ ∠bed + ∠gef = 90°，∴ ∠beg =180°―90°= 90°又∵ ab = be = eg = ga = c，∴ abeg是一个边长为c的正方形.∴ ∠abc + ∠cbe = 90°∵ rtδabc ≌ rtδebd,∴ ∠abc = ∠ebd.∴ ∠ebd + ∠cbe = 90°即 ∠cbd= 90°又∵ ∠bde = 90°，∠bcp = 90°，bc = bd = a.∴ bdpc是一个边长为a的正方形.同理，hpfg是一个边长为b的正方形.设多边形ghcbe的面积为s，则,∴ bdpc的面积也为s，hpfg的面积也为s由此可推出：a^2+b^2=c^2证法2（项明达证明）作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使e、a、c三点在一条直线上.过点q作qp∥bc，交ac于点p.过点b作bm⊥pq，垂足为m；再过点f作fn⊥pq，垂足为n.∵ ∠bca = 90°，qp∥bc，∴ ∠mpc = 90°，∵ bm⊥pq，∴ ∠bmp = 90°，∴ bcpm是一个矩形，即∠mbc = 90°.∵ ∠qbm + ∠mba = ∠qba = °，∠abc + ∠mba = ∠mbc = 90°，∴ ∠qbm = ∠abc，又∵ ∠bmp = 90°，∠bca = 90°，bq = ba = c，∴ rtδbmq ≌ rtδbca.同理可证rtδqnf ≌ rtδaef.即a^2+b^2=c^2证法3（赵浩杰证明）作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.分别以cf，ae为边长做正方形fcji和aeig，∵ef=df-de=b-a，ei=b，∴fi=a，∴g,i,j在同一直线上，∵cj=cf=a，cb=cd=c，∠cjb = ∠cfd = 90°，∴rtδcjb ≌ rtδcfd ，同理，rtδabg ≌ rtδade，∴rtδcjb ≌ rtδcfd ≌ rtδabg ≌ rtδade∴∠abg = ∠bcj,∵∠bcj +∠cbj= 90°,∴∠abg +∠cbj= 90°,∵∠abc= 90°,∴g,b,i,j在同一直线上，所以a^2+b^2=c^2证法4（欧几里得证明）作三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使h、c、b三点在一条直线上，连结bf、cd. 过c作cl⊥de，交ab于点m，交de于点l.∵ af = ac，ab = ad，∠fab = ∠gad，∴ δfab ≌ δgad，∵ δfab的面积等于，δgad的面积等于矩形adlm的面积的一半，∴ 矩形adlm的面积 =.同理可证，矩形mleb的面积 =.∵ 正方形adeb的面积= 矩形adlm的面积 + 矩形mleb的面积∴ 即a的平方+b的平方=c的平方【证法6】（欧几里德(euclid)射影定理证法）如图1，rt△abc中，∠abc=90°，ad是斜边bc上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：1）（bd）^2;=ad·dc，（2）（ab）^2;=ad·ac ，（3）（bc）^2;=cd·ac。由公式（2）+（3）得：（ab）^2;+（bc）^2;=ad·ac+cd·ac =（ad+cd)·ac=（ac）^2;，即（ab）^2;+（bc）^2;=（ac）^2，这就是勾股定理的结论。