斯特灵公式(Stirling\'sformula)是一条用来取n阶乘近似值的数学公式 。一般来说,当n很大的时候,n阶乘的计算量十分大,所以斯特灵公式十分好用;而且,即使在n很小的时候,斯特灵公式的取值已经十分准确 。公式为:这就是说,对于足够大的整数n
斯特灵公式(Stirling\'s formula)是一条用来取n阶乘近似值的数学公式 。一般来说,当n很大的时候,n阶乘的计算量十分大,所以斯特灵公式十分好用;而且,即使在n很小的时候,斯特灵公式的取值已经十分准确 。
公式为:
![n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式](http://pic.yunnanlong.com/230525/04345315c-0.jpg)
这就是说,对于足够大的整数n,这两个数互为近似值 。更加精确地:
![n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式](http://pic.yunnanlong.com/230525/0434531R7-1.jpg)
这个公式,以及误差的估计,可以推导如下 。首先不直接估计n!,而是考虑它的自然对数:即:
![n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式](http://pic.yunnanlong.com/230525/0434533491-2.jpg)
这个方程的右面是如下积分的近似值(利用梯形法则)
![n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式](http://pic.yunnanlong.com/230525/043453J12-3.jpg)
而它的误差由欧拉-麦克劳林公式给出:
![n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式](http://pic.yunnanlong.com/230525/0434532092-4.jpg)
其中Bk是伯努利数,Rm,n是欧拉-麦克劳林公式中的余项 。取极限,可得:
![n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式](http://pic.yunnanlong.com/230525/0434534V3-5.jpg)
把这个极限记为y 。由于欧拉-麦克劳林公式中的余项Rm,n满足:
![n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式](http://pic.yunnanlong.com/230525/0434534c7-6.jpg)
其中用到了大O符号,与以上的方程结合,便得出对数形式的近似公式:
![n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式](http://pic.yunnanlong.com/230525/0434534319-7.jpg)
两边取指数,并选择任何正整数m,便得到了一个含有未知数e^y的公式 。当m=1时,公式为:
![n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式](http://pic.yunnanlong.com/230525/0434532942-8.jpg)
将上述表达式代入沃利斯乘积公式,并令n趋于无穷,便可以得出e^y=√2π,因此,我们便得出斯特灵公式:
![n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式](http://pic.yunnanlong.com/230525/0434536243-9.jpg)
这个公式也可以反复使用分部积分法来得出,首项可以通过最速下降法得到 。把以下的和
![n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式](http://pic.yunnanlong.com/230525/043453F06-10.jpg)
用积分近似代替,可以得出不含√2πn的因子的斯特灵公式(这个因子通常在实际应用中无关):
![n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式](http://pic.yunnanlong.com/230525/0434533M5-11.jpg)
斯特灵公式实际上是以下级数(现在称为斯特灵级数)的第一个近似值:
![n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式](http://pic.yunnanlong.com/230525/0434531333-12.jpg)
阶乘的对数的渐近展开式也称为斯特灵级数:
【n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式】
![n的阶乘大还是n的n次方大 n的阶乘斯特林公式](http://pic.yunnanlong.com/230525/0434534633-13.jpg)
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