但若在中学或大学数学教程中以“无限不循环小数”作为无理数的定义，则是非常不明智的，非但不能使学生明白，反而会使很多学生误以为懂了 。如 [4] 中所说:
“不怕不懂，就怕不懂还自以为懂 。”
再来看平面几何 。在几何教科书中有很多定义，但这些定义都不是“原始”的，原始的概念如点、直线、平面等都是只有直观没有定义的，但它们由公理体系界定 。用现代的语言，几何对象可以定义为满足一些条件 (公理) 的若干集合所组成的体系 。硬要定义直线、平面等是不会有好结果的，所幸还没听说有这样的教科书 。
不过在现行中学数学统编教科书中，很多几何概念的定义有严重缺陷，例如把直观当作定义，或语义含混 (详见 [2]) 。
回过头来再看实数的概念 。非常值得一提的是数轴的直观 。将实数理解为数轴上的点，对于大多数学生是理解实数（包括无理数）的一个有效途径 。有了无理数的例子，再有数轴的直观，对于普通学生就可以有效地讲授实数概念 。换言之，几何直观是理解实数的一个有效途径，对于中学生是不可或缺的 。
对于多数学生有较高难度的定义还有一些，如概率 。对于这类概念，只讲直观而不讲定义，常常是明智的 。但常常还需要给出表达方式，并进一步给出“操作”（如计算）方法 。这样学生就能够运用这些概念，做出有创新性的工作，尽管可能最终也没有完全搞懂某个概念 。此外，通过应用也有可能提升对于概念的理解 。
简言之，如果学生能理解，直接讲定义对于建立数学概念最有效；而若大多数学生不能理解，最起码也不应该讲假的定义，或者忽悠学生 。
在大学数学教程中也有定义方面的问题 。
先来看微积分教程 。随便找一本微积分（或数学分析）教科书，就会看到其中积分（黎曼积分）的定义颇不简单 。在数学分析教程中，一元函数的积分定义为一个颇不平凡的极限，判别其存在性还要用到达布和等，相当复杂而费解 。在非数学专业的微积分教程中，这部分内容只是简化了些（实际上是偷工减料），复杂度基本未变，所以未必比数学分析教科书容易懂；但另一方面，对这些内容都不会布置作业，更不会考试（包括研究生入学考试），徒然浪费时间且让学生头疼 。
顺便指出，各版本中学教科书中的积分概念也是这样写的，对于中学生当然就更头疼了，甚至很多中学教师也看不懂 。
学过实变函数论就知道，一元函数黎曼可积等价于几乎处处连续，直观地说，其实离连续函数没多远 。在黎曼积分的应用中实际上主要是针对连续函数，至多是分段连续函数 。对于一般的学生，由黎曼积分其实只是学到面积的一个定义，何况这还不是一般的定义，例如一条一般的约当单闭曲线所围成的区域的面积，就不能用黎曼积分来定义（在康妥的时代就知道，曲线可能有非零的面积） 。所以，花了那么多的时间那么大的功夫学黎曼积分，只是学到一个特殊情形的面积定义而已 。然而，一般人都有面积的直观，并不需要面积的定义 。（如果关心面积的定义，可以看勒贝格积分或更一般的定义，如动力系统中对于维数和测度的定义 。）因此，为了理解积分的概念，至少对大多数学生，不如局限于连续函数的积分 。
如果将连续函数的积分定义为“有向面积”，就很容易理解且不需要花多少功夫 。具体说，对于闭区间 [a, b] 上的连续函数 f(x)，由直线 x=a，x=b，y=0 和曲线y=f(x) 围成的图形具有面积，将直线 y=0 上方的面积看作正的，下方的面积看作负的，这样得到的总面积称为有向面积 。将 f(x) 在 [a, b] 上给出的有向面积称为它的积分，记为
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