几何直观是数学思想吗 数学中的直观主要包含三种( 三 )


几何直观是数学思想吗 数学中的直观主要包含三种


由此定义不难证明牛顿-莱布尼兹公式
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而积分的一些其他基本性质如
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(r, s为实数),分部积分法、换元法以及一些初等函数的积分等,利用牛顿-莱布尼兹公式都很容易证明 (有些甚至可以作为习题) 。利用张景中先生制作的辅助软件,一堂课就足以讲清楚积分的基本概念和牛顿-莱布尼兹公式,这已经超过中学课程标准的要求了 。至于黎曼积分的原始思想——分割成竖条作面积和再取极限,可以直观地讲一下,不讲也可以,不需要花费很多课时,其实只有少数学生会关注 。
再来看线性代数教程 。“向量”是最重要的基本概念之一 。在目前所见到的很多教科书 (其中有些是早年的) 中,向量定义为有序数组 。这样的定义不仅费解 (与解析几何中的定义相距甚远),而且向量的运算还要另外定义 。一般说来,要直到学了很多内容后才明白向量是什么 。
这样的定义有明显的缺陷,没有揭露向量的本质 。详言之,有序数组是向量在取定的坐标系下的表达,是“how”层面的,而好的定义应该是“what”层面的 。
从“what”层面看,向量就是向量空间的元素,脱离向量空间来讨论向量是没有意义的 。向量的运算,都涉及多个向量以及它们之间的关系 。所以,要明白什么是向量,归根结底要明白向量空间 。
然而,很多线性代数教科书中根本就没有向量空间 。即使有,很多教师也不讲 。常见的理由是,向量空间太“抽象”,学生难以理解 。那么,基于向量空间的很多概念和定理,当然就更不能讲了 。
其实向量空间的概念并不算很“抽象”,国外一些大学本科代数教科书是先讲群论后讲线性代数,显然比我国的线性代数或高等代数教科书更“抽象” 。另一方面,我国现在的中学生都要花很多工夫学集合,但从教科书上看不到有什么用(除了刷题) 。若是对于向量空间概念的高明之处有所领悟,至少会觉得集合是有用的 。所以,至少有一部分学生理解向量空间并无困难 。而对于有困难的学生,需要教育者的耐心,例如可以采取如下的途径讲授 。
注意学生在解析几何中学过平面向量和空间向量,而且知道一些物理应用 。在初等的数学和物理教科书中一般会讲向量的直观,即“既有大小又有方向的量”,而且较好的教科书中还会指出,这只是一种直观,并非既有大小又有方向就是向量 (例如电流) 。学生通过物理意义可以对向量有正确的理解,尽管还没有向量空间的概念 。那么,从向量的这些直观概念推进到一般的向量空间,本质上只是维数可以不受限制 。因此,可以先复习解析几何中的平面向量和空间向量,包括它们的直观意义和物理应用,然后系统地复习和整理向量的运算,再复习和整理向量在直角坐标系下的表达 。然后举例说明高维的向量也是有数学和物理意义的 。由此引导到一般的向量空间,就不很“抽象”和难于理解了 。当然这需要多花费一些时间,但对于后面的学习是有利的 。
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还值得指出,一般不能说定义的对错(Yuri Zarhin 曾无奈地说: “Well,every definition is correct”),只能说定义的优劣 。一个好的定义能够揭示客观存在或自然规律,启迪思维,引导有意义的研究方向 。在极端的情形,甚至一个好的定义就解决了问题 。遗憾的是很多定义有缺陷 。有的教科书将直观当作定义,毫无科学严谨性可言,有些还颇为费解,或语义含混,或几乎是同义反复(参看 [2]),这些都是误人子弟 。有些定义虽然严谨,但没有背景,不自然(有人为设置的条件),在极端的情形甚至所定义的东西根本不存在 。尽管由这样的定义可以推导出一些定理,可以写论文发表,但对科学并无贡献,也不会有应用,只是逻辑游戏而已 。还有一类情形,虽然所定义的对象是客观存在且值得研究的,但定义的条件复杂或费解(如上面所说的将表达作为定义),尤其不利于初学者 。其中有些还可能导致偏见或心理障碍 。

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