菲尔兹奖得主Thurston与庞加莱猜想( 三 ) _云知道

几何和拓扑学家对曲面感兴趣。我们熟悉各种曲面，比如平面、球面、锥面和甜甜圈（环面）。流形是一类特殊的曲面，从其上的每一点看来，临近的区域都类似欧氏空间。更准确地说，流形具有如下性质：流形（曲面）的每一点都位于一个集合的中心，这个集合拓扑等价于一个（开）欧氏球。欧氏球是与给定点的距离小于或等于某个给定实数r（球的半径）的点集。它有两种形式，开球只包含距离严格小于r的点，而闭球还包含距离等于r的点。例如，圆的内部是一个2维开球，也称为开圆。因此， 2维流形是有如下性质的曲面，在其每一点都能找到一个（可能的）小集合拓扑等价（同胚）于一个位于那一点的开圆。
如果存在从集合X到集合Y的一对一连续映射函数，并且反函数也是连续的，则称X拓扑等价或同胚于Y 。从拓扑学的角度看，正方形、五角星、椭圆和欧氏圆都是拓扑等价的。请注意，其中一些是光滑曲线，另一些则有角。也有一些人将拓扑描述为橡皮几何学：如果一个集合不经切割或撕裂就能变换为另一个集合，那么两者就是拓扑等价的。简而言之，同胚是“拓扑等价”的专业术语。

在拓扑学中，一个杯子和一个甜甜圈（实心环面）是等价的，一头母牛和一个球面也是等价的。| 来源：Wikipedia
数学家们在研究流形时会寻找那些帮助我们理解流形结构的定理。图1展示了一系列2维流形，这些曲面（都是有界的）上的任意点的周围，都有一个小集合等价于一个2维圆内部的拓扑拷贝。图中曲面包含的孔的数量各不相同，中间的曲面有1个孔，我们称它的亏格为1 。你也许能想出办法，将中间曲面的多个拷贝连接到左边的曲面，以得到最右边的曲面。

图1. 包含零个孔、一个孔和多个孔的曲面。| 来源：Manifold Atlas Project
应该怎样对流形分类呢？一个自然的选择是依据流形的维度，比如上面我们看到了球面和环面这类经常遇到的2维流形。除此之外，还有连通、有界、平滑（可微）和紧致的流形，以及有边界的流形。所有这些都是用来刻画特定类型流形的特殊属性。图2展示的曲面被称为3维空间中的裤子。

图2. 这个曲面被称为3维空间中的裤子。| 来源：Wikipedia
我们也可以考虑在平面上绘制的裤子，如图3所示。在不同的设定下观察同一个“对象” ，可以帮助我们更深刻地认识对复杂曲面进行区分的一般性原则。请注意，图中的红色圆圈不是所关注的曲面的一部分。如果我们在曲面加上红圈会发生什么？每个点仍然是某个拓扑圆的中心吗？拓扑学家可能感兴趣的问题是，如果将裤子作为部件拼接起来，得到的曲面会有多少种变体。

图3. 画在平面上的裤子 | 来源：Wikipedia
数学发展的一个方面体现在，能以某种方式区分以前认为是相同的事物。因此，新的修饰词不断被加到流形这个术语前面，以区分不同类型的曲面。例如，我们讨论2维流形、3维流形、双曲流形、以及上面提到的各种类型的流形。双曲流形的每个点周围的区域类似某个维数的双曲空间。空间可以用不同的方式区分，例如曲率。欧氏空间的曲率为零，而双曲空间则具有负曲率。在欧氏平面几何中，经过直线外一点有且仅有一条平行线，而在双曲平面中，经过直线外一点有许多条平行线。瑟斯顿的研究领域就包括双曲流形和空间。