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方法一,这种做法比较常规,看到分母的1+sinx时,我们应该会想到尝试使用完全平方公式,即分子分母同乘以1-sinx,这样就可以把分母变成cos^2 x,接下来的计算就比较简单了,只需要使用一些简单的积分公式就可以求解出来 。
如下的方法二,具有一定的技巧性 。我们可以学习一下这种技巧和方法 。
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第(2)题,我们看到1+cosx时,就要想到三角函数降幂公式的逆运算,即1+cosx=2cos^2 (x/2) 。因为分母的角x变成半角(x/2)了,所以同样也把分子的角x变成半角(x/2),即sinx=2sin(x/2)cos(x/2) 。接下来,只需要知道tan(x/2)的导数是(1/2)sec^2(x/2) , 就可以采用分部积分法去求解了 。其实 , 对于这道题来说,还有第二种方法,即采用题(1)的方法二去求解,感兴趣的话可以自己去求解一下 。
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第(3)题是第十届全国大学生数学竞赛决赛里的一道填空题,这道题难度不大 。观测题目,不难发现积分区间是0到正无穷大、分母为x^2+a^2,这时候我们就应该想到,如果令x=a*tant后,积分区间就可以变成0到(π/2),分母就化简成为a 。
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第(4)题是第五届全国大学生数学竞赛预赛的一道题,做这道题的关键是,要知道arctan(x)+arctan(1/x)=(π/2),就可以将原来比较复杂的积分进行化简了,通常在其他题目中,这条等式的作用一般也是用来化简积分 。最后,在采用换元法,令x=π-t,就可以解出这道题了 。
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