幂函数的性质及图像特点

一、性质
1、正值性质
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）（0,0）；
b、函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数；
c、在第一象限内， α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；
2、负值性质
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）；
b、图像在区间（0 ， +∞）上是减函数；（内容补充：若为X-2 ，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞ ， 0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。
c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0 ，函数值趋近+∞ ，自变量趋近+∞ ，函数值趋近0 。
3、零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。
二、特点
对于α的所有非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果

， q和p都是整数，则

，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。
当指数α是负整数时，设α=-k ，则
【幂函数的性质及图像特点】

，显然x≠0 ，函数的定义域是（－∞ ， 0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0 ，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
α小于0时， x不等于0；
α的分母为偶数时， x不小于0；
α的分母为奇数时， x取R 。

初等函数
初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）
反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。
它是最常用的一类函数，包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。
即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数，称为初等函数。
还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh的名称是双曲正弦或超正弦， cosh是双曲余弦或超余弦， tanh是双曲正切， coth是双曲余切， sech是双曲正割， csch是双曲余割。初等函数在其定义区间内一定连续。