罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理 ， 是三大微分中值定理之一 ， 其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理 。
罗尔定理描述如下：
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：
（1）在闭区间 [a,b] 上连续
（2）在开区间 (a,b) 内可导
（3）f(a)=f(b) ， 则至少存在一个 ξ∈(a,b) ， 使得 f'(ξ)=0 。
扩展资料
证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续 ， 所以存在最大值与最小值 ， 分别用 M 和 m 表示 ， 分两种情况讨论：
1. 若 M=m ， 则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数 ， 结论显然成立 。
2. 若 M>m ， 则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得 ， 从而ξ是f(x)的极值点 ， 又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得 ， f(x) 在 ξ 处取得极值 ， 由费马引理 ， 可导的极值点一定是驻点 ， 推知：f'(ξ)=0 。
【什么是罗尔中值定理】另证：若 M>m ， 不妨设f(ξ)=M ， ξ∈(a,b) ， 由可导条件知 ， f'(ξ+)<=0 ， f'(ξ-)>=0 ， 又由极限存在定理知左右极限均为 0 ， 得证 。
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