【直角三角形斜边中线定理】证法1:
δabc是直角三角形 , 作ab的垂直平分线n交bc于d
∴
ad=bd(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等)
以db为半径 , d为圆心画弧 , 与bc在d的另一侧交于c'
∴dc’=ad=bd∴∠bad=∠abd
∠c’ad=∠ac’d
(等边对等角)
又∵∠bad+∠abd+∠c’ad+∠ac’d
=180°(三角形内角和定理)
∴∠bad+∠c’ad=90°
即:∠bac’=90°
又∵∠bac=90°
∴∠bac=∠bac’
∴c与c’重合(也可用垂直公理证明
:假使c与c’不重合
由于ca⊥ab , c’a⊥ab
故过a有ca、c’a两条直线与ab垂直
这就与垂直公理矛盾
∴假设不成立
∴c与c’重合)
∴dc=ad=bd∴ad是bc上的中线且ad=bc/2这就是直角三角形斜边上的中线定理
证法2:
δabc是直角三角形 , ad是bc上的中线 , 作ab的中点e , 连接de
∴bd=cb/2 , de是δabc的中位线
∴de‖ac(三角形的中位线平行于第三边)
∴∠deb=∠cab=90°(两直线平行 , 同位角相等)
∴de⊥ab
∴de是ab的垂直平分线
∴ad=bd(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等)
∴ad=cb/2
证法3:运用向量证明
已知rt△abc中 , ∠bac=90° , ad是中线 。 求证bc=2ad
证明:设向量ac=b , 向量ab=c , 向量bc=a , 向量ad=d
∵ad是bc的中线
∴c+b=2d
∴(c+b)²=4d²
展开括号 , 得|c|²+2c·b+|b|²=4|d|²
又∵c⊥b
∴c·b=0 , |c|²+|b|²=|a|²
∴得|a|²=4|d|²
开方得|a|=2|d| , 即bc=2ad
证法4:运用矩形的性质证明
延长ad到e,使de=ad,连接be,ce
∵bd=cd , ∠bac=90°
∴四边形abec是矩形
∴bc=ae=2ad
证法5:解析几何证明
以a为原点 , ac为x轴 , ab为y轴建立直角坐标系 , 并设c(2c,0) , b(0 , 2b) , 那么d(c , b)
|ad|=
|bc|===2|ad|
证法6:圆
作rt△abc外接圆
∵∠bac=90°
∴ab是直径(90°的圆周角所对的弦是直径)
∴d是圆心 , ad是半径
∴bc=2ad
推荐阅读
- 直角三角形面积公式
- 高中线上网课排行榜前十名 高中线上网课哪家好
- 高中线上教育平台排行榜 高中网上教育平台排名
- 等腰直角三角形的性质是什么
- 未定事件簿第五章中攻略 未定事件簿第五章中线索关联介绍
- 2022合肥经开区公办小学初中线下报名点
- 直播+回放 河北省2022年南水北调中线地区中小学生安全教育视频
- 6月6日至施工完工 2022温州乐清白中线部分路段施工禁止通行
- 2022中山公办初中线上报名入口
- 南水北调中线从哪里到哪里 南水北调中线是哪里到哪里