什么是正态分布？正态分布中的σ又指的是什么？ _云知道

什么是正态分布
正态概率分布是连续型随机变量概率分布中最重要的形式，它在实践中有着广泛的应用。在生活中有许多现象的分布都服从正态分布，如人的身高、体重、智商分数；某种产品的尺寸和质量；降雨量；学习成绩，特别是，在统计推断时，当样本的数量足够大时，许多统计数据都服从正态分布。下面以人的身高为例，通俗解释一下什么是正态分布？
随机抽取200位同等年龄上下的男性，测量好他们的身高之后计算出平均身高，通过将平均身高和他们各自的身高对比，我们可以轻松发现这一现象：大多数男性的身高都集中在平均身高上下浮动，有极少数男性身高很矮，也有极少数男性身高很高。这200为男性身高的概率密度函数可能如下图所示：

实际上，这种形状十分常见，应用很广泛，它叫做正态分布。
正态分布中的σ指的是方差。σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。
正态分布的概率密度函数
正态分布之所以被称为正态，是因为它的形态看起来合乎理性。在现实生活中，遇到测量值之类的大量连续数据时，正常情况下都会期望看到这种形态。正态分布的概率密度函数的计算公式如下：

其中μ＝均值，σ＝标准差，π＝3.14159，e＝2.71828 。如果随机变量X符合上述概率密度函数的分布，则称X是服从参数为μ，σ2的正态分布，记为X～N(μ，σ2) 。

正态分布的概率密度函数具有下列性质；

以x＝μ为对称轴的对称分布；
σ2指分散性，σ2值越大，正态分布的曲线越扁平、越宽；
以x轴为渐近线；
若随机变量X1,X2…,Xn皆服从正态分布，且相互独立，则对任意几个常数a1,a2,…,an(不全为0)，Z=a1X1+a2x2+……+anXn也服从正态分布

正态分布求概率
但是在正态分布中求概率是非常困难的，提供包括所有不同的μ和σ的正态分布表也是不可能的。所以统计学家通过一种简单的方法来解决这一问题。对于一个随机变量X～N(μ，σ2)，如果令Z=(x-μ)/σ（标准分），则随机变量Z服从μ=0,σ2=1的正态分布，记为Z～N(0,1)，称为标准正态分布。
标准正态分布的概率密度函数为：

通过上式可以看出标准正态分布不再依赖于参数μ和σ，它是固定的，是唯一的。因此，标准正态分布中随机变量与其概率的对应关系被计算出来，并列为标准正态概率分布表，以便查询。于是，对于不同的μ和σ，只要将变量值转化为Z值，然后查表即可得到其概率值。

标准正态概率分布表
例子：已知研究生完成一篇硕士论文的时间服从正态分布，平均花费2500h，标准差为400h，现随机找到一个已完成论文的学生，求：
（1）他完成论文的时间超过2700h的概率；
（2）他完成论文的时间低于2000h的概率；
（3）他完成论文的时间在2400h～2600h之间的概率。
解：用X表示完成论文的时间，则X～N(2500，400*400) 。这是非标准的正态分布，如果直接计算概率是非常麻烦的，我们首先将其转化为标准正态分布，然后通过标准正态分布表查出变量的概率值。