克莱因接着指出 ， 欧几里得几何学中讨论的所有概念对所有运动都保持不变 ， 也就是说 ， 对所有等距变换都保持不变 。让我再说一遍我们说一个概念对某些变换保持不变的意思是什么 。我在一种非常宽泛和一般的意义上使用“概念”这个词 ， 粗略地说 ， 意思是在某种类似于《数学原理》的类型分层中所有可能类型的对象 。因此 ， 概念包括个体(在这里就是点)、个体的类、个体的关系、个体的类的类 ， 等等 。比如 ， 说个体的类对变换f保持不变是什么意思？它的意思是 ， x 属于这个类当且仅当f(x) 也属于这个类 ， 换句话说 ， 这个类由这个变换映射到自身 。说一个关系对变换f保持不变又是什么意思？它的意思是 ， x和y具有这种关系当且仅当f(x) 和f(y) 也具有这种关系 。我们可以很容易地按熟悉的方式把不变性的概念扩展到类的类、类之间的关系等等 。
对欧几里得几何学的详细分析表明 ， 在这门几何学中讨论的所有概念 ， 不仅对运动保持不变、对等距变换保持不变 ， 而且还对更广泛的变换类保持不变 ， 即对几何学家所谓“相似性变换”保持不变 。有一些变换并非都保持距离 ， 但可以说它们在所有方向上统一增大或缩小几何图形的尺寸 。更确切地说 ， 有些相似性变换不保持距离 ， 但是都保持两个距离的比例 。比方说 ， 你有三个点x 、y 和z ， 如果y到z 的距离比x到y的距离大25％ ， 那么相似性变换的结果仍然是三个点f(x) 、f(y) 和f(z) ， 其中f(y) 到f(z) 的距离比f(x) 到f(y) 的距离大25％ 。换句话说 ， 一个三角形变换为另一个相似三角形 ， 两者都有相同的角 ， 而且它们的边成比例增大或缩小 。于是 ， 在欧几里得几何学中讨论的所有性质 ， 对所有可能的相似性变换保持不变 。顺便说一句 ， 这意味着在欧几里得几何学中不能讨论度量单位的概念 。我们不应该问这样一位几何学家 ， 从他的学科观点看 ， 米制系统和非米制系统哪个更好 。用欧氏的术语来说 ， 我们无法区分一米和一码 ， 甚至也不能把一厘米与一码区分开 。任何两条线段都是“相同的” ， 因为你总可以通过相似性变换把一条线段变换成另一条线段 。属于一条线段的每种欧几里得性质也属于其他每一条线段 。
克莱因接着说 ， 对所有相似性变换的不变性是度量几何学(普通欧氏几何的另外一个名称)的特性 。③这一点可以用定义来表达：一个度量概念 ， 或者度量几何学的概念 ， 只不过是对所有可能的相似性变换保持不变的概念 。我们当然也可以设想一门学科 ， 在其中我们考虑较窄范围的变换类 ， 比如只考虑等距变换 ， 或者只考虑保持左右两边的区分的变换(在普通几何学中无法给出这种区分) ， 或者只考虑保持顺时针运动与逆时针运动的区分的变换(在通常的欧几里得几何学中也无法给出这种区分) 。但是 ， 通过缩小可容许变换的类的范围 ， 可以作出更多的区分 ， 也就是说 ， 我们拓宽了对可容许变换保持不变的概念的类 。在这个方向上 ， 几何学的极端情况就是挑出4个点 ， 给它们命名 ， 然后只考虑那些让这4个点保持不变的变换 。这将意味着引入一个坐标系 ， 然后我们将处于几何学范围的极限位置 ， 即处于所谓的分形几何的位置 。实际上 ， 在这种情形中 ， 除了一个“不足道的”恒等变换 ， 不会有可容许的变换 。
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