代数基本定理零点定理证明 _生活百科

代数基本定理断言任意?n（n＞0）次复系数多项式方程在复数域中至少有一个根，事实上，有许多等价的陈述方式，例如，每个?n（ n> 0）次复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式，它是代数学中非常重要且基础的一个定理。
代数基本定理演化?17 世纪的代数方程论开始于方程根的数目究竟有多少的问题，吉罗拉莫·卡尔达诺是第一个意识到三次方程可能有三个根，四次方程可能有四个根等，曾指出实系数方程的复根是成对出现的，并引入负数的平方根，但是只考虑正根，而不考虑负根。
1629年荷兰数学家阿尔伯特?吉拉德在“代数的新发明”一书中断言，如果把虚根考虑在内，并按重数计算重根的数目，则?n次代数方程有?n个根，吉拉德首次将负数与正数等量齐观并承认复根，虽未能给出证明，但克服了大多数不愿将复数根视为合理的情况。
1637 年勒内·笛卡尔在他的“几何学”第三卷中推测每个方程根的数目等于未知数的维数，与吉拉德的说法类似，但是对笛卡尔来说，虚根从来不对应任何实数，摒弃了复根。
从 16 世纪初到17世纪中叶的方程理论中，缺少对“虚量”的精确表述，对于线性因子分解和根的数目的一般陈述并非代数基本定理。
18 世纪初，约翰·伯努利和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的工作构成了代数基本定理史的起点。
伯努利在1702 年的文章“关于积分学问题的解答”的开头得出一个结论：有理微积分总是可以约化为双曲线的求积（如果对数是实的）或圆的求积（如果对数是虚的）。但是他没有给出一般证明，莱布尼兹通过举例积分：

同时依赖于双曲线和圆的求积，并指出只要有理分式的分母分解成一次或二次实因式，就会有一个与圆或双曲线求积相同的相依积分，并提出了代数基本定理问题：即每一个实系数多项式都能分解成线性因式的乘积或分解成实系数的一次因式和二次因式之积。但是莱布尼茨否定了问题的答案，并以：

为例，认为不能对所有的多项式得到这样的实因式解。这样就开启了一段围绕实系数多项式能分解成线性因式的乘积为主题的工作。
对于方程根的存在性问题的普遍关注是在十八世纪，代数基本定理的第一次证明通常归功于法国数学家让·勒朗·达朗贝尔，他在1746 年详细阐述了此定理，并于 1748年出版。1749年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发表了一个与达朗贝尔截然不同的证明，在接下来的几十年里，弗朗索瓦·戴维，约瑟夫·拉格朗日，以及皮埃尔-西蒙·拉普拉斯等人给出了代数基本定理的其他代数证明方法。
直到1799 年，冠以“数学王子”称号的德国数学家约翰卡尔·弗里德里希·高斯在赫尔姆施泰特写的博士论文《每个单变量的整有理代数函数均可分解为一次和二次实因式积的新证明》中才首次给出代数基本定理较严格的证明，它包含了对达朗贝尔、欧拉、戴维、拉格朗日的工作的批评，然后运用几何方法给出自己的证明，该证明为数学中证明存在性问题提供了创新思想。
高斯在后来的1815 年、1816 年、1849 年又分别给出代数基本定理的另外三个证明，1815年给出的是完全依赖于代数原理的证明，1816 年给出的是纯粹解析性的证明，1849年的证明是为纪念其获得博士学位 50 周年而作，将第一次证明扩展到复数域。高斯一生中对代数基本定理提供了四个不同的证明，涵盖其整个成年生活的五十年的时间跨度。