无理数集合包括哪些数 0属于有理数吗 _云知道

看到这一章的题目，在读的初中同学们肯定异口同声地回答“当然是”
但是像笔者这样四十多岁的人，在中学时0还不是自然数

这是为什么呢？
毕达哥拉斯对数字有着深刻的理解，在对数字进行了归纳与总结后，得出了一套关于数字的理论。
首先是自然数，这几乎是人与生俱来就能感受到的数学知识，包括很多动物都能对“多”、“少”产生一个清晰的概念。人类每只手有五个手指，两只手就有十个手指，在长期的演化中，就很容易将一个手指与一个自然界中的物体产生对应，而这也是自然数存在的基础。
1、2、3、4、5……
现在课本也把数字0归于自然数的序列，在很多年前我本人小学的时候自然数是不包括0的
事实上数字0要比其它自然数1、2、3、4、5……出现要晚得多。
最早大约1500年前的印度人首先发明了数学0，用以表示“什么也没有”、“绝对的空”、“无”的概念。后来流传到了古代阿拉伯地区，一直到13世纪才由一个商人把数字0带到了欧洲。
当时的欧洲数学界为此非常震惊，甚至恐慌，因为0有很多奇妙和数学性质，比如说任何一个不为0的数如果除以0，就会得到∞（无穷大），这让几乎所有的数学都大惊失色，甚至会有人因为在计算中使用了0而被以异端的名义被绞死。可以想象那个时代的欧洲是多么的落后愚昧，不愧为“黑暗的中世纪” 。
但是很多人在使用0和负数进行计算的时候，又觉得很方便，于是很多数字家在公开场合都宣称0是邪恶的，但又私底下用得不亦乐乎，就这样，两三百年过去了，直至约公元15，16世纪0和负数才逐渐被欧洲所认同，也正是如此，才使西方数学有快速发展，为启蒙运动、文艺复兴带来了数学基础。
所以0的出现比其它自然数是要晚得多的，那0什么时候被界定为自然数呢？
在我们国家，

，肯定是在1993年以后，因为1993年，国家标准委颁布了《物理科学和技术中使用的数学符号》(GB 3102.11-93)，在这里，首次把自然数集合写成：
N=｛0 ， 1，2，3……｝
那么， 0为什么会进入自然数这里就不得不提到一个伟大的数学家，意大利数学家G.皮亚诺。在发生了第二次数学危机后，人们开始认识到0与无穷小的重要性，皮亚诺参照欧几里德几何“五大几何公设”，以最基础的几个不证自明的公理开始推导整个数学大厦，于是在1889年他出版了《几何原理的逻辑表述》一书首次提出了“皮亚诺公设”：
自然数集N是指满足以下条件的集合：
①N中有一个元素，记作1 。
②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。
③1是0的后继者。
④0不是任何元素的后继者。
⑤不同元素有不同的后继者。
⑥（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N 。
好吧，你以为自然数就那么简单吗？

20世纪初，大数学家罗素和其老师怀特海，曾经合作写了一本《数学原理》[1]这是一本集哲学、数学和数理逻辑之大成的一本皇皇巨著。因此罗素赢得了学术上的崇高地位和荣誉，在说到哲学史和数学史的时候，没有人能踢开这位伟大的数学哲学家。但是由于此书内容十分艰深，晦涩难懂，一般人甚至专门从事数学原理研究的专家，有时候也没法完全学懂弄通。