点群
群（group）表示一种集合 ， 设有一个集合G≡{E,A,B,C,D……}。每一个对称操作可以作为一个元素，一个系统拥有的全部对称操作可以组成一个对称群，每种对称操作是其中一个群元 。由点对称操作组成的群，称为点群 。
在晶体学三维空间中，我们可以将上述的点式对称操作做组合，一共可以组合出32种点群 。进一步如果我们将非点式操作（平移）加进去，可以组合派生出230种空间群 。然而在二维平面中，只能组合出10种点群 。
上图中的通用记号叫作Schoenflies记号，来自于德国数学家Arthur Moritz Schoenflies 。
“C”代表“cyclic（循环）” 。这些对象都有旋转对称性 。下标数字代表具有几重旋转对称性，例如C2表示该群有两重旋转对称操作 。
“D”代表“dihedral（二面角）” 。这些对象同时具有镜面对称性和旋转对称性 。下标数字表示它有几重旋转对称性，也就同时意味着有几条镜面对称线 。如我们之前团花图案，D4表示该群有4重旋转对称操作 ， 并且有4个镜面对称操作，相邻二面角相等 。
准晶体
细心的大家可能发现了，之前的二维晶体学点群中唯独缺少 n=5 的情况，这是由于在晶体中存在平移对称性的约束 。随着对晶体学的认知逐渐深入，英国著名的物理学家、数学家和哲学家Roger Penrose给出了可以用图形单元铺满空间，且图案具有5重旋转对称性的方案 。我们将这种铺满的方式称为，Penrose拼接 。
准晶体，是一种介于晶体和非晶体之间的固体 。准晶体花样可以铺满整个平面，但是准晶体没有与晶体相同的的平移对称性 。[5]因而可以具有晶体所不允许的宏观对称性，如5重旋转对称性 。而具有5次转动对称性的三维有限尺寸的物体也是有的，如艾滋病病毒和云南的荷包 。(准晶体的介绍可以查看往期内容：准晶体的前世今生)
好了，到现在为止，我们集齐了n=1,2,3,4,5,6重的旋转对称性?。?
窗花中的对称性
窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一 。在隆重的节日里，农村就会在春节前在家里贴上“角花”和“团花”，以烘托节日的气氛 。[7]我们看到之前的窗花其实可以看到，它们一般都是以高度的对称性为特点 。
相信聪明的大家已经从给出的窗花，还有前面的举例中看出了规律 。窗花图案的对称操作的集合 ， 其实就是以中心为不变点的点式操作组成的点群 。
接下来我们从一些简单的剪纸图形出发，
来看看窗花剪纸中的对称规律 。
其他的窗花太复杂了，
于是，不争气的我翻开了，
一本名叫《幼儿剪纸大全》[8]的书 ，
或许我们可以从这里看出一些规律 。
它是这样子的 。
（忽略红绿配色的标注）
……
当然还有送给小伙伴们的祝福！
单独纹样
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