指数分布的方差

【指数分布的方差】X1, X2, ..., Xn 参数为 a 的Poisson分布P(a) ，则X1 + X2 + ... + Xn 为参数为 na 的Poison分布，由此可以得到均值的密度为：
P(X平均 = k) = e^(-na) (na)^(nk) / (nk)!
Y1,Y2,...,Yn 参数为 a 的指数分布，则Y1 + Y2 + ... + Yn 分布为Г(a, n) ，也就是说一个Г分布可以分解为指数分布的和。若有很多个Г分布，现将其分解成指数分布的和，然后组合就变成了一个新的Г分布，只是参数中的n变了而已。然后，要得到均值的密度就很简单了。
Г(a,n)密度为：
p(x) = a^n / Г(n) * x^(n-1) * e^(-ax)
由此得到Y1 + Y2 + ... + Yn 均值的密度为：
p(x) = (na)^n / Г(n) * x^(n-1) * e^(-nax)

要注意的是，
1）由于当x<0的时候， f(x)=0 ，因此积分区间可由（负无穷，正无穷）直接变为（0 ，正无穷）
2）推导过程用到了分部积分的方法
3）当x->无穷大时， x/e^(-2x)是趋于0的。
4）粉红色标出的没有别的意思，就是指明，随机变量X服从指数为2的指数分布而已。
指数分布e(x)是期望值的意思。
比方说：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。
这个期望值就是用e(x)来表示的。

一般的说，一个随机变量的函数的期望值并不等于这个随机变量的期望值的函数。
在一般情况下，两个随机变量的积的期望值不等于这两个随机变量的期望值的积。特殊情况是当这两个随机变量是相互独立的时候（也就是说一个随机变量的输出不会影响另一个随机变量的输出）。
在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。
这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。
指数分布与分布指数族的分类不同，后者是包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布，也包括正态分布，二项分布，伽马分布，泊松分布等等。
指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property ，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s) 。
即：如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。
指数分布的期望：可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔，在排队论中，一个顾客接受服务的时间长短（等待时间等）就是指数分布的期望。
因为参数λ表示的是每单位时间内发生某事件的次数，即时间的发生强度，所以其倒数 1/λ（实际上是指数分布期望）可以表示为事件发生之间的间隔，即等待时间。如果平均每个小时接到2次电话（λ=2），那么预期等待每一次电话的时间是0.5个小时。
特征：
指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property ，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s) 。
即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。