且
时 , 为非奇非偶函数;
当
且时 , 为奇函数;
当且
时 , 为偶函数;
当且时 , 为既奇又偶函数 。
例6、已知幂函数
在
上是增函数 , 且在定义域上是偶函数 。
(1)求的值 , 并写出相应的函数的解析式;
(2)对于(1)中求得的函数 , 设函数
。问是否存在实数
, 使得函数在区间上是减函数 , 且在区间上是增函数?若存在 , 请求出
的值;若不存在 , 请说明理由 。
分析:第一问先根据单调性求出的取值范围 , 再由奇偶性进一步确定的取值 。第二问可根据复合函数单调性的规律来解 。
解答:(1)∵幂函数
在上是增函数 , ∴
∴
又
, ∴
∵在定义域上是偶函数 , ∴只有当
时符合题意 , 故 。
(2)由 , 则
。
假设存在实数 , 使得满足题设条件 。令
, 则
。
∵在上是减函数 , ∴当
时 ,
;当
时 ,
。
若在区间上是减函数 , 且在区间上是增函数 , 则
在
上是减函数 , 且在
上是增函数 , 此时二次函数的对称轴方程是
即
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