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2022考研数学二真题 2022考研数学二

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这是2022年新高考数学全国卷II的一道填空题 ， 涉及直线的轴对称关系 ， 直线与圆相割或相切的问题 。

2022考研数学二真题 2022考研数学二


2022考研数学二（2022考研数学二真题）
设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C：(x+3)^2+(y+2)^2=1有公共点 ， 则a的取值范围为______.
利用图形 ， 或许能找到更简便的解法
分析：第一步 ， 先写出A,B关于y=a的对称点坐标 ， 分别是A’(-2,2a-3),B(0,a).因为B点在对称轴上 ， 所以对称点还是它本身 。而对称轴平行于x轴的对称点 ， 横坐标相等 ， 纵坐标y1+y2=2a.其实就是中点坐标公式的应用 。
然后写出直线l的解析式 ， 可以先写出点斜式y=-(a-3)(x-a)/2 ， 然后转化成斜截式：y=(3-a)x/2+a ， 或一般式：(3-a)x-2y+2a=0.不同的形式 ， 有不同的解法 。
列斜截式是为了方便列直线l和圆C的交点方程：(x+3)^2+((3-a)x/2+a+2)^2=1,因为只要直接代入就可以了 。
然后化为关于x的一元二次方程的一般形式：(1+(3-a)^2/4)x^2-(a^2-a-12)x+(a^2+4a+12)=0.
直线l和圆C有公共点 ， 说明这个一元二次方程的判别式不小于0 ， 即:
(a^2-a-12)^2-(4+(3-a)^2)(a^2+4a+12)≥0,化简不等式：
a^4-2a^3-23a^2+24a+144-a^4+2a^3-a^2+20a-156≥0,6a^2-11a+3≤0.
解得：1/3≤a≤3/2.
如果你是这样做的话 ， 那你肯定不是一个学霸 。相信上面这种方法是比较容易想到的 。然而有一种简便得多的方法 ， 应该是利用点到直线的距离公式 。依据圆心C到直线l的距离不大于半径时 ， 直线l就与圆C有公共点的原理 。这时候就要运用到直线l的一般式了 ， 由点到直线的距离公式列方程得：
|-3(3-a)+4+2a|/√((3-a)^2+4)≤1.解得：1/3≤a≤3/2.
【2022考研数学二真题 2022考研数学二】瞧 ， 两步就可以解决的问题 ， 老黄一开始用了多少步 ， 走了多少弯路 。不过走弯路能解得出来 ， 总比解不出来好 ， 你说对吧？

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