金字塔的八大诡异事件金字塔的秘密有多恐怖( 二 ) _云知道

这就是我们所谓的二面角。
在四面体中，四个面两两相交，一共形成了六条边和六个二面角。几十年来，数学家们一直想要搞懂到底什么样的四面体会有六个有理的二面角。正如上文提到的，如果一个角的度数是有理数，那么这就是一个有理角。这等同于在弧度制下，角的大小是一个有理数乘上π.（从角度转换为弧度，需要将角的大小乘上π/180°，因此如果一个角在角度制下是有理的，那么在弧度制下一定是一个有理数乘π，反之亦然。）
我们已经看到了用有理角构造平面三角形是多么简单。但对于四面体，这个问题要复杂得多。考虑这个从正方体的一个角切下来的简单的四面体。

我们立刻可以看出这个四面体有三个二面角是由原来正方体的面构成的，因此它们是直角。用棱来指代二面角十分方便。在这个四面体中，棱OA、OB、OC上的二面角都是直角。

如果切割正方体的角度合适，使得OA=OB=OC，那么以AB、AC、BC为棱的二面角大小应该相等。我们可以切割正方体使OA=OB=OC=1，接下来就可以计算以BC为棱的二面角大小了。测量二面角大小的关键是作出从BC中点M到O点和A点的线段。
如果我们旋转四面体，从侧面观察以BC为棱的二面角，这个角会被投影成平面上的∠AMO，∠AMO的大小与原二面角相等。测量∠AMO的大小需要知道线段OA和OM的长度。我们已经知道OA = 1，接下来为了知道OM的长度，我们只需进一步考察三角形ΔOCB 。

由于∠BOC是直角，所以我们可以用勾股定理得到BC = √2，由于M是BC中点，所以MC = √2/2 。而ΔOCB不仅仅是直角三角形，由于OB = OC，它还是等腰三角形。这意味着这是一个45—45—90度的三角形，∠OBC和∠OCB都是45° 。ΔOCB是等腰三角形保证了OM垂直于BC，因此ΔOMC也是一个直角三角形。但如果∠OMC = 90°而∠OCB = 45°，三角形内角和定理告诉我们∠MOC = 45°，也就是说小三角形ΔOMC也等腰，因此OM = MC = √2/2 。
现在我们终于准备好计算∠AMO的大小了。

tan∠AMO = 1/(√2/2) = 2/√2 = √2
在ΔAMO中，我们知道AO = 1，OM = √2/2 。此外，因为∠AOM是直角，我们可以使用三角函数。在直角三角形中，一个角的正切值是它的对边长度与邻边（直角边）长度之比：
tan∠AMO = 1/(√2/2) = 2/√2 = √2.
因此∠AMO的大小是√2的反正切，也就是arctan√2，这是一个无理数，所以这个四面体有三个二面角是无理数大小，它不是我们寻找的有理四面体。然而，尽管它不是我们的目标，这个无理四面体可以告诉我们一些在寻找有理四面体时的重要信息。
要了解这一点，我们来近似计算一下上面无理四面体的二面角的和。通过计算器或者三角函数表，我们发现∠AMO大约是54.74° 。
现在我们可以将四面体OABC的六个二面角求和了：三个直角都是90°，另外三个角都等于我们刚才计算的角，因此，这个四面体六个二面角的总和大约是3 × 90° + 3 × 54.74° ≈ 434.22° 。
这就是不一样的地方。让我们回到正方体中，不再按照OA = OB = OC的方式切割它，而是在角上切下很薄的一片。