金字塔的八大诡异事件金字塔的秘密有多恐怖( 三 ) _云知道

事实上，如果不停地把四面体越切越薄，点P将会越发靠近点O，以BC为棱的二面角将接近0°，而以PB和PC为棱的二面角都将趋向于90°，所以这些角的和近似为：
90° + 90° + 90° + 90° + 90° + 0° = 450°.

随着点P靠近点O，四面体的六个二面角之和将会趋近于450°.这意味着二面角之和会发生变化！在最初的四面体OABC中，六个二面角之和大约是434°，但当我们改变这些角，它们的和也会发生变化。或许在某些层面上，四面体可以被视为三维版的平面三角形，但有一点它们有很大的不同：并不存在一个“四面体二面角和定理”来保证这些角的和是一个常数。
这说明我们只能做到保证四面体的二面角和在360°到540°之间。如果你在寻找有理二面角组成的四面体，这将是个问题。你不能随意选择五个有理角，然后就笃定说第六个角就自然也是有理的。因为不同于三角形，你并不知道这些二面角的和是多少。
更糟糕的是，你甚至不知道任意大小的六个二面角是否能组成一个四面体。考虑五个直角和一个锐角，它们的和在450°到540°之间，确实在四面体允许的范围之内。但是并不存在由这样六个角组成的四面体。如果六个角中的五个都是直角，那么必然有一个面有三个90°二面角。但是这种情形下，这些面并不能闭合组成四面体：就像平行线一样，它们永不相交。
三个直角二面角共享的一个面可以是三棱柱的一部分，但不会是四面体的一部分。
因此，找到所有可能的有理四面体的问题远比找到有确定总和的五个或六个有理数复杂。除此之外，解决这个问题还需要解一个包含105项的方程，这个方程来自于约翰·康威和安东尼娅·琼斯1976年的一篇论文。一些数学家在2020年完成了这项工作，结果是对所有有理四面体进行了完整的分类。
三角形内角和定理只是欣赏三角形优雅和美丽的众多原因之一。对于四面体，缺少这样一个定理恰恰展现了提升一个维度带来的美丽与复杂。
问题
1.正方体二面角之和是多少？
答案
正方体有12条棱，因此有12个二面角，每个角都是九十度，因此和为12 × 90° = 1080°.
2.正四面体六个二面角之和大约是多少？
答案
所有的六个二面角都相等，因此可以作一个合适的直角三角形来计算其中一个二面角的大小。
正四面体的每个面都是等边三角形，所以侧面的中线——从顶点到对边中点的线段——的高度都是√3/2s，其中1/3 × √3/2s是棱长，这是我们所需的直角三角形的斜边。底面的中心被称作形心，它在底面三角形的中线上，距三角形底边中点1/3 。从四面体顶部的顶点到底面中心的高度为s，这是所求直角三角形的一条直角边。因此正四面体两个侧面所夹二面角的余弦值是(1/3 × √3/2s)/(√3/2s) = 1/3.由于arccos ≈ 70.53°，所以正四面体的六个（相等的）二面角之和大约就是6×70.53° ≈ 423.18°.

3.想象一个放在桌面上的正四面体，当你把最上面的顶点向下按，在四面体逐渐被压扁的过程中，六个二面角的和如何变化？
答案
在四面体被压扁的过程中，与底面相接的三个二面角逐渐变成0°，另外三个二面角都趋近于180°，因此和为3 × 0 + 3 × 180° = 540° 。这是四面体二面角和的上限。为了达到二面角和的最小值，可以将两条对边推向对方，四个二面角将变成0°，另外两个将变成180° 。
4.任意四个和为360°的角能否组成一个四边形？