数字世界中真的存在数位敏感质数吗?在数轴上越往远处质数就越稀疏,这使得它们不太可能在高维表的行和列中交叉 。但更大的数字有更多的数位,每增加一个数位 , 成为数位敏感质数的可能性就会降低 。
如果继续研究,你会发现数位敏感质数确实存在 。最小的是294,001 。当你改变其中一位数时 , 你得到的数字——比如794,001或284,001——将是合数 。还有更多:接下来的几个是505447;584141;604171;971767;1062599 。事实上,这是一个无穷数列 。著名数学家保罗·埃尔德什(Paul Erd?s)证明了数字上有无穷多个数位敏感质数 。这只是关于这些奇怪数字的许多令人惊讶的结果中的第一个 。
例如,埃尔德什不仅证明了有无穷多个数位敏感质数:他还证明了在任何基数下都有无穷多个数位敏感质数 。因此,如果你选择用二进制、三元或十六进制来表示数字 , 你仍然可以找到无穷多个数位敏感质数 。
数位敏感质数并不仅仅是无限的:它们在所有质数中所占的比例不为零 。这意味着 , 如果你观察数位敏感质数的数量与所有质数数量的比率,这个分数是一个大于零的数字 。用专业术语来说,所有质数的“正值的比例”在数位上是敏感的,正如菲尔兹奖得主陶哲轩 (Terence Tao) 在2010年证明的那样 。质数本身在所有数中所占的比例并不为正 , 因为数轴越往外,质数就越少 。然而,在这些质数中,你会继续足够频繁地发现数位敏感质数,使得数位敏感质数与总质数的数量比例保持在零以上 。
也许最令人震惊的发现是2020年关于这些奇怪数字的新变化的结果 。通过放宽数位的概念,数学家们重新设想了数字的表示方式:他们不再只考虑97,而是认为97前面有0:…
0000000097 。
每个前导零都可以被认为是一个数位,数位敏感的问题可以扩展到这些新的表示 。是否存在“广义数位敏感质数”——如果你改变任何一个数位,包括前导的任何一个零 , 质数总是成为合数?由于数学家Michael Filaseta和Jeremiah Southwick的工作,我们惊奇地知道答案是肯定的 。不仅存在广义数位敏感质数,而且它们的数量也是无穷无尽的 。
质数构成了一串无穷无尽的数学谜题,供专业人士和爱好者们玩味 。我们可能永远无法解开它们所有的秘密,但你可以指望数学家不断地发现和发明新的质数种类来探索 。
练习
- 2和101之间最大的质数间隙是多少?
![113是不是质数 113是质数吗](http://pic.yunnanlong.com/231103/12211LS8-5.jpg)
【答案】并不是 。考虑前六个质数:2、3、5、7、11和13 。在这种情况下,数字q将是2×3×5×7×11×13+1= 30031 。它不能被2、3、5、7、11或13整除,但它不是质数:它可以分解成30031 =59×509 。注意它有质数因子 , 但它们都比前6个质数大 。
![113是不是质数 113是质数吗](http://pic.yunnanlong.com/231103/12211M155-6.jpg)
【答案】如果k或q是质数,我们就证明完了 。如果q不是质数,它是合数,也就是说它能被某个质数整除 , 但我们已经知道它不能被前n个质数整除 。因此它必须能被一个大于前n个质数的质数整除;因为这些都是小于k的质数,所以这个质数一定大于k,但这个质数能除q , 所以它一定小于q,所以k和q之间一定有一个质数 。
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