小学圆锥体体积公式怎么推导出来的圆锥体积公式推导过程( 三 ) _云知道

左右两边的截面都是圆，但是面积不同。半球的截面积需要计算图中的x，需要使用勾股定理。
根据勾股定理，x2=r2－h2，于是得到截面面积=π(r2－h2)
右边的圆柱体的截面面积等于底面积，在圆柱体中构造一个倒放的等底同高的圆锥体，观察上图，我们发现：
同高度的圆锥体，球体和圆柱体的截面分别是小圆，中圆和大圆。而且，大圆－小圆=圆环=中圆
现在我们来证明。
圆锥体的截面一个方向是圆，垂直于这个方向的截面是等腰三角形。这个等腰三角形底边=d=2r，高=h=r，底边上的高把这个等腰三角形分为两个全等的等腰直角三角形，直角边=r 。因为平行于三角形底边的直线截的小三角形与原来的三角形是相似三角形，所以小圆的半径r=高h 。
圆环的面积=大圆－小圆。恰好等于：
πr2－πh2=π(r2－h2)
于是证明了圆环面积=球体截面面积=中圆面积。而圆环面积=圆柱截面面积－圆锥截面面积。我们知道，相似三角形对应线段成比例，所以不论截面高度如何变化，球体截面面积=圆柱截面面积－圆锥截面面积的数量关系不变。
根据祖暅原理，当然有球体体积=圆柱体积－圆锥体体积。
前面论述了圆锥体积：圆柱体体积=1：3，由此可见，圆锥体积：球体体积：圆柱体体积=1：2：3
一个半球的体积=2个圆锥体体积，所以球体体积=4个圆锥体体积，所以推导出球体体积公式：
V=4/3 πr3
总结一下：请看下图

排水法的启示
阿基米德说：任一球体的体积等于底面积为球体最大圆面积，高为球体半径的圆锥体体积的4倍。
写成公式就是：
V=4/3 πr3=π/6D3
注意，D代表直径。

阿基米德的墓碑
拓展一下：
阿基米德说：在圆柱容球模型中，圆柱体的表面积和体积都等于球体的一倍半。
也就是说，圆柱体体积：球体体积=3：2；圆柱体表面积：球体表面积=3：2 。
圆柱体的表面积很好计算：两个底面积为2πr2，圆柱体的侧面积是4πr2，合计6πr2 。而球体的表面积恰好等于圆柱体的侧面积。阿基米德说，任一球体的表面积等于其最大圆之面积的4倍。6：4化简后就是3：2，就是阿基米德说的一倍半。