【角平分线的性质】1、从一个角的顶点引出一条射线 ， 把这个角分成两个完全相同的角 ， 这条射线叫做这个角的角平分线 。 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心 。 三角形的内心到三边的距离相等 ， 是该三角形内切圆的圆心 。
2、角平分线的性质：角平分线可以得到两个相等的角；角平分线上的点到角两边的距离相等；三角形的三条角平分线交于一点 ， 称作三角形内心 。 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形一个角的平分线 ， 这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例 。
3、角平分线判定定理：在角的内部 ， 如果一条射线的端点与角的顶点重合 ， 且把一个角分成两个相等的角 ， 那么这条射线就是这个角的平分线；在角的内部 ， 到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上；两个角有一条公共边 ， 且相等 。
4、角平分线定理及逆定理：定理角平分线上的点到这个角两边的距离相等；逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上；三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例；逆定理：如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例 ， 那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 。
这题用角平分线的性质很容易解决 。
角平分线上一点到角的两边距离相等 。
注意一下这条角平分线的特殊性：它是直角的角平分线 。
这题显然不是高考难度啊 ， 如果有兴趣题主可以思考一下：
已知角平分线斜率为k ， 用k表示PQ的斜率 。
解答时间～
先来看第一问 。
为什么说要注意AM是直角的平分线呢？
角PAM=角QAM=45º ， 如果我们再过角平分线上一点向两边作垂线 ， 是不是就得到两个等腰直角三角形呢？
等腰直角三角形三边长度的关系大家应该是很清楚的——1 ， 1 ， 根号2嘛 。
这条角平分线又是已知的 。 找这上面比较简单的一个点吧 ， 比如它与x轴交点 ， 记为N 。
那N到两直线距离应该要相等 ， 而且都应该等于AN的二分之根号二倍
。 AN是好求的 ， 这样我们就把能AP和AQ的方程求出来了 。
然后联立直线与椭圆方程 ， 解出两点坐标 ， 就能求斜率了 。
这个数据还是有点麻烦的 。
第二问能否借鉴上一问的做法呢？
可以 ， 但过程就会显得比较繁琐了 。
我们从另一个角度来思考 。
联想到角的动态定义 ， 角是始边旋转到终边形成的 。
那角PAM可以理解为AM顺时针转过45º到AP形成的角
， 同理角QAM可以理解为AM逆时针转过45º到AQ形成的角
。
所以我们可以说：AP的倾角等于AM的倾角减去45º ， AQ的倾角等于AM的倾角加上45º
（请读者自证） 。
这样我们就可以直接写出两直线的斜率来了 。
最令人热（tou）血（hun）沸（nao）腾（zhang）的部分——化简！
用我们老师的话来说：不要怕！你怕它 ， 它不怕你！你怕你就算不对！
（然后他就算错了）
我尽量一步一步写吧 。
这个化简还算比较友善 。 至少原来式子的结构挺对称的 。
注：原本是有第三问的 ， 但我实际操作了一下 ， 难度实在太大 ， 远远高于高考题难度 ， 所以删去了 。 如果感兴趣 ， 上面的图中有题目 。
