云南龙网

  1. 首页 > 云知道 > >

幂函数的概念与性质，高中必看知识点归纳总结大全( 五 )

小知识


性质：
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞) 。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数 。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数 。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数 。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数 。
而只有a为正数，0才进入函数的值域 。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况 。
可以看到：
(1)所有的图形都通过(1，1)这点 。
(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数 。
(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸 。
(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大 。
(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点 。
(6)显然幂函数无解 。

推荐阅读


上一篇：羊蝎子是羊身上的哪个部位？羊蝎子名字的由来

下一篇：四川有哪些美食？70款必吃的四川特色美食大全